Qu'est-ce qu'un thermostat ?

La stratégie. Un thermostat est un système dont la température reste constante quoi qu'il échange avec le système étudié. On ne le décrète pas : on le vérifie, en comparant ce que le système étudié peut lui céder à ce qu'il lui faut pour changer notablement de température. Le bon indicateur est le rapport des capacités thermiques $C=mc$.

1) Ce que la canette doit céder. Sa capacité thermique vaut $C_{\mathrm{can}}=0,33\times 4180=1,38\times 10^3\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$. Pour baisser de $20\mathrm{K}$, elle doit recevoir $Q=-C_{\mathrm{can}}\times 20=-2,76\times 10^4\mathrm{J}$, c'est-à-dire céder $27,6\mathrm{kJ}$.

2) Le seau. Capacité thermique de l'eau du seau : $C_{\mathrm{s}}=2,0\times 4180=8,36\times 10^3\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$, six fois celle de la canette. Si elle recevait les $27,6\mathrm{kJ}$, elle s'échaufferait de $27,6\times 10^3/8,36\times 10^3=3,3\mathrm{K}$. C'est un majorant : en réalité la canette n'atteint pas $10{}^{\circ }\mathrm{C}$, puisque le seau se réchauffe en même temps. Les deux finissent à une température commune, comprise entre $10$ et $13,3{}^{\circ }\mathrm{C}$ (environ $12,8{}^{\circ }\mathrm{C}$ si l'on écrit que l'énergie cédée par l'une est reçue par l'autre). Le seau n'est pas un thermostat pour la canette : sa température a bougé de près de $3\mathrm{K}$ sur un écart initial de $20\mathrm{K}$, soit 14 %.

3) Le lac. $C_{\mathrm{lac}}=10^9\mathrm{kg}\times 4180\approx 4\times 10^{12}\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$ ; échauffement maximal $27,6\times 10^3/4,18\times 10^{12}\approx 7\times 10^{-9}\mathrm{K}$, totalement indétectable. Le lac est un thermostat pour la canette, au sens le plus strict : la canette finit à la température du lac.

4) L'air du réfrigérateur. $C_{\mathrm{air}}=0,200\times 1,2\times 1000=240\mathrm{J}{\mathrm{K}}^{-1}$, six fois moins que la canette. La « majoration » donnerait un échauffement de $27,6\times 10^3/240\approx 115\mathrm{K}$ : absurde, puisque l'air ne peut évidemment pas dépasser la température de la canette qui le réchauffe. Le calcul dit seulement que l'air seul ne peut pas refroidir la canette : c'est la canette qui imposerait sa température à l'air. Si le réfrigérateur refroidit tout de même la canette, c'est que la machine — l'évaporateur au fond, piloté par un régulateur qui relance le compresseur dès que la température monte — extrait en continu l'énergie apportée. Le thermostat, dans un réfrigérateur, c'est l'ensemble régulé, pas l'air.

5) Le critère. Un système $B$ peut être modélisé par un thermostat pour un système $A$ si sa température varie de façon négligeable pendant leurs échanges. Deux façons d'y parvenir : par taille, quand $C_B\gg C_A$ (le lac, l'atmosphère, l'océan, un grand bain d'eau à température ambiante) ; par régulation, quand un dispositif compense en permanence ce que $B$ reçoit (un réfrigérateur, un four régulé, un bain thermostaté de laboratoire, et le corps humain, qui maintient $37{}^{\circ }\mathrm{C}$ en ajustant son métabolisme et sa transpiration). Le seau est un thermostat pour un glaçon minuscule, pas pour une canette.

Ordre de grandeur. Un litre d'eau a une capacité thermique environ 3500 fois plus grande qu'un litre d'air : on rafraîchit une boisson bien plus vite dans l'eau glacée que dans l'air froid.

Ce que l'exercice installe. « Thermostat » est un modèle relatif : il se justifie par un rapport de capacités thermiques ou par une régulation, jamais par la seule taille apparente. Identifier dans une situation réelle le système qui peut jouer ce rôle, c'est précisément la capacité demandée par le programme, et c'est la première chose à faire avant d'écrire qu'une transformation est monotherme.