L'expérience de Joule : l'équivalent mécanique de la calorie

1) Système et transformation. On choisit le système fermé $\Sigma$ = \{eau + vase + palettes\}. Il est fermé (aucune matière n'entre ni ne sort) ; sa frontière passe par l'axe des palettes, ce qui laisse les masses, la corde et la poulie à l'extérieur. État initial : tout au repos à la température $T_i$. État final : tout au repos (les palettes se sont arrêtées), à $T_i+\Delta T$. Le vase est calorifugé : $Q=0$. Le travail reçu est celui que la corde transmet aux palettes par l'axe ; si les poulies sont sans frottement et les masses descendent lentement, chaque chute fournit $Mgh$, donc

$$W=NMgh=20\times 10,0\times 9,81\times 1,50=2943\mathrm{J}.$$

Le premier principe, appliqué à $\Sigma$ entre ces deux états (énergies cinétique et potentielle macroscopiques de $\Sigma$ inchangées), donne $\Delta U=W+Q=W$. Par extensivité de $U$, $\Delta U$ est la somme des variations de l'eau et du vase avec ses palettes ; comme ceux-ci se comportent comme $45\mathrm{g}$ d'eau, $\Delta U=(m+\mu )c_{\mathrm{eau}}\Delta T$.

2) Le même état final par la chaleur. Partons du même état initial et chauffons $\Sigma$ avec un réchaud, palettes immobiles : cette fois $W=0$, et $Q$ est ce qu'il faut pour élever de $\Delta T$ la température de l'équivalent de $m+\mu =645\mathrm{g}$ d'eau. Par définition de la calorie,

$$Q_{\mathrm{cal}}=(m+\mu )\Delta T=645\times 1,08=697\mathrm{cal}.$$

Les deux expériences mènent au même état final ; elles produisent donc la même variation $\Delta U$, mesurée une fois en joules (travail), une fois en calories (chaleur). Le rapport est l'équivalent cherché :

$$J=\frac{W}{Q_{\mathrm{cal}}}=\frac{2943}{697}=4,22\mathrm{J}\mathrm{ca}{\mathrm{l}}^{-1}.$$

3) La correction d'énergie cinétique. À chaque chute, la masse ne cède pas tout $Mgh$ à la corde : elle garde $\frac{1}{2}M{v}^2$, qu'elle perd en heurtant le sol, hors de $\Sigma$. Le travail réellement reçu par $\Sigma$ est donc

$$\begin{array}{rl}{W}^{\prime }& =N\left(Mgh-\frac{1}{2}M{v}^2\right)\\ & =2943-20\times \frac{1}{2}\times 10,0\times 0,50^2\\ & =2943-25\\ & =2918\mathrm{J},\end{array}$$

d'où $J=2918/697=4,19\mathrm{J}\mathrm{ca}{\mathrm{l}}^{-1}$. La correction est petite ($0,8\%$) mais du bon côté : la valeur moderne, $4,18\mathrm{J}\mathrm{ca}{\mathrm{l}}^{-1}$, est justement celle de $c_{\mathrm{eau}}$ exprimée en joules par gramme et par kelvin.

4) Pourquoi la comparaison a un sens. Le premier principe affirme que $U$ est une fonction d'état : $\Delta U$ ne dépend que de l'état initial et de l'état final, pas de la manière dont on passe de l'un à l'autre. Deux transformations qui relient les mêmes états ont donc le même $\Delta U=W+Q$, même si l'une ne passe que par $W$ et l'autre que par $Q$. C'est ce qui autorise à dire qu'un joule de travail et un joule de chaleur « valent » la même chose pour le système. La découverte de Joule est que ce rapport est le même quelle que soit la façon de produire le travail : la calorie n'est qu'une unité d'énergie.

5) La cascade. On suit une masse $m$ d'eau, système fermé, entre le haut de la chute (au repos) et le bas, une fois l'eau calmée au repos dans le bassin. Toute son énergie potentielle de pesanteur passe en énergie interne : $m{c}_{\mathrm{eau}}\Delta T=mgH$, soit

$$\Delta T=\frac{gH}{c_{\mathrm{eau}}}=\frac{9,81\times 51}{4180}=0,12\mathrm{K}.$$

La masse s'élimine. Un dixième de degré pour une chute spectaculaire : c'est que $c_{\mathrm{eau}}$ est énorme à l'échelle des énergies mécaniques courantes — il faut tomber de $426\mathrm{m}$ pour s'échauffer de $1\mathrm{K}$. L'effet est réel, mais noyé dans les échanges avec l'air et les roches.

Ce que l'exercice installe. Le geste fondateur de tout bilan : choisir le système, et tracer sa frontière pour décider de ce qui est travail reçu (l'axe des palettes) et de ce qui ne l'est pas (le choc des masses au sol). Puis la lecture du premier principe comme un énoncé sur une fonction d'état : deux chemins, mêmes états, même $\Delta U$. Enfin un ordre de grandeur à retenir : $c_{\mathrm{eau}}\approx 4,18\mathrm{kJ}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}{\mathrm{K}}^{-1}$, c'est beaucoup — $1\mathrm{K}$ d'eau vaut une chute de plus de $400\mathrm{m}$.