Le glaçon : l'hypothèse sur l'état final se vérifie

Système et transformation. Système : \{eau du verre + glace\}, fermé. Transformation : de l'état initial (juste après l'introduction de la glace, chaque partie à sa température) à l'état final d'équilibre. Contraintes : pression atmosphérique constante, équilibre mécanique avec elle au début et à la fin ; échanges thermiques négligés, donc $Q=0$. Le bilan d'enthalpie monobare donne $\Delta H=Q=0$, et par extensivité de $H$, $\Delta H$ est la somme des variations de chaque partie, que l'on calcule chacune sur un chemin commode.

1) Le glaçon à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Hypothèse : toute la glace fond, l'état final est liquide à ${\theta }_f\ge 0{}^{\circ }\mathrm{C}$. Chemin pour la glace : fusion à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, puis échauffement de l'eau de fonte de $0$ à ${\theta }_f$. Chemin pour l'eau : refroidissement de $25$ à ${\theta }_f$. Le bilan s'écrit

$$m_g{L}_{\mathrm{fus}}+m_{g}c({\theta }_f-0)+m_{e}c({\theta }_f-25)=0,$$

d'où

$$\begin{array}{rl}{\theta }_f& =\frac{m_{e}c\times 25-m_g{L}_{\mathrm{fus}}}{(m_e+m_g)c}\\ & =\frac{20900-10020}{0,230\times 4180}\\ & =11,3{}^{\circ }\mathrm{C}.\end{array}$$

Vérification : ${\theta }_f>0$, l'état final supposé est cohérent. L'hypothèse est validée.

2) La glace du congélateur. Même hypothèse, avec un terme de plus : la glace doit d'abord se réchauffer de $-18$ à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$.

$$m_g{c}_s\times 18+m_g{L}_{\mathrm{fus}}+m_{g}c{\theta }_f+m_{e}c({\theta }_f-25)=0.$$

Avec $m_g=0,100\mathrm{kg}$ : $3780+33400+418{\theta }_f+836({\theta }_f-25)=0$, soit $1254{\theta }_f=-16280$, et

$${\theta }_f=-13{}^{\circ }\mathrm{C}.$$

C'est absurde : on a supposé de l'eau liquide dans l'état final, et l'on trouve une température où l'eau liquide ne peut pas être en équilibre sous $1\mathrm{bar}$. Le calcul n'est pas faux, c'est l'hypothèse qui l'est : le résultat la réfute.

3) La bonne hypothèse. Comparons les énergies disponibles. Pour refroidir toute l'eau jusqu'à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, il faut qu'elle cède $m_{e}c\times 25=20,9\mathrm{kJ}$. Pour réchauffer toute la glace jusqu'à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, il faut $m_g{c}_s\times 18=3,78\mathrm{kJ}$ ; pour la fondre ensuite, $m_g{L}_{\mathrm{fus}}=33,4\mathrm{kJ}$. On a donc

$$3,78\mathrm{kJ}<20,9\mathrm{kJ}<3,78+33,4=37,2\mathrm{kJ}:$$

l'eau a de quoi amener la glace à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, pas de quoi la fondre entièrement. Hypothèse : l'état final est un mélange d'eau et de glace, à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ (la seule température où les deux phases coexistent sous $1\mathrm{bar}$). L'inconnue n'est plus la température, c'est la masse fondue $m_f$ :

$$m_g{c}_s\times 18+m_f{L}_{\mathrm{fus}}+m_{e}c(0-25)=0,m_f=\frac{20900-3780}{334000}=51\mathrm{g}.$$

Vérification : $0<m_f<m_g$, l'hypothèse est cohérente. État final : $0{}^{\circ }\mathrm{C}$, $251\mathrm{g}$ d'eau liquide et $49\mathrm{g}$ de glace.

4) Le rôle de la chaleur latente. Avec $30\mathrm{g}$ d'eau liquide à $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ au lieu du glaçon, le bilan serait celui d'un simple mélange : ${\theta }_f=200\times 25/230=21,7{}^{\circ }\mathrm{C}$. Le glaçon fait descendre la boisson à $11,3{}^{\circ }\mathrm{C}$, c'est-à-dire deux fois plus bas. La différence est la fusion : $m_g{L}_{\mathrm{fus}}=10,0\mathrm{kJ}$ prélevés sur la boisson sans que la température du glaçon bouge — autant que pour refroidir les $200\mathrm{g}$ de boisson de $12\mathrm{K}$.

Ce que l'exercice installe. Un bilan calorimétrique avec changement d'état suppose un état final, et l'hypothèse se vérifie à la fin : une température calculée incompatible avec la phase supposée signale l'hypothèse fausse, pas une erreur de calcul. La bonne hypothèse se trouve par une comparaison d'énergies, et elle change la nature de l'inconnue : à l'équilibre diphasé, la température est imposée, c'est la composition qu'on cherche.