Remplir une bouteille vide : $T_f=\gamma T_0$

1) Le choix du système fermé. La bouteille, prise comme volume fixe, voit entrer de la matière : son contenu n'est pas un système fermé, et le premier principe du cours ne s'y applique pas. On suit donc la matière, pas le volume : le système $\Sigma$ est la quantité d'air, $n$ moles, qui se trouvera dans la bouteille à la fin. Dans l'état initial, cet air est encore dehors, dans l'atmosphère, à $(P_0,T_0)$, et occupe une « poche » de volume $V_0=nR{T}_0/P_0$ devant le robinet. Dans l'état final, il est dans la bouteille, à $(P_0,T_f)$, volume $V_B$. Le reste de l'atmosphère est l'extérieur.

2) Le travail de l'atmosphère. Pendant le remplissage, l'air extérieur pousse la poche vers le robinet, à la pression $P_0$, et le volume de la poche passe de $V_0$ à $0$. Du côté de la bouteille, la frontière s'avance dans le vide : rien n'y pousse, aucun travail n'y est échangé. Le travail reçu par $\Sigma$ est donc $$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}{V}_{\mathrm{poche}}=-P_0(0-V_0)=+P_0{V}_0.$$ C'est un travail reçu : l'atmosphère enfourne l'air dans la bouteille, comme un piston.

3) Le bilan. Les échanges thermiques sont négligeables : $Q=0$. L'air finit au repos, ses énergies cinétique et potentielle macroscopiques sont nulles au début et à la fin. Le premier principe sur $\Sigma$ donne $$U_f-U_0=W+Q=P_0{V}_0,\text{soit}{U}_f=U_0+P_0{V}_0=H_0.$$ L'énergie interne finale de l'air est l'enthalpie qu'il avait dehors. Pour le gaz parfait, $U=n{C}_{V,m}T$ et $P_0{V}_0=nR{T}_0$, d'où $$n{C}_{V,m}{T}_f=n{C}_{V,m}{T}_0+nR{T}_0=n{C}_{P,m}{T}_0,T_f=\frac{C_{P,m}}{C_{V,m}}{T}_0=\gamma T_0.$$ Application numérique : $T_f=1,40\times 293=410\mathrm{K}$, soit $137{}^{\circ }\mathrm{C}$.

Vérifications. $T_f>T_0$ : l'air s'échauffe en entrant, ce qui est conforme à l'expérience (la valve d'une bouteille qu'on remplit chauffe). Le résultat ne dépend ni de $V_B$ ni de $P_0$ : il est universel pour un gaz parfait. Et le cas limite $\gamma \to 1$ (gaz de capacité infinie) donne $T_f\to T_0$, comme il se doit.

4) Le retour à la température ambiante. Bouteille refermée, rigide : $n$ et $V_B$ sont fixés, et l'équation d'état donne $P\propto T$. La pression passe de $P_0$ à $$P_{\mathrm{fin}}=P_0\frac{T_0}{T_f}=\frac{P_0}{\gamma }=0,71\mathrm{bar}.$$ La bouteille refroidie est en dépression. Expérience : remplir rapidement un récipient rigide préalablement vidé, le fermer, attendre quelques minutes puis le relier à un manomètre ; on lit environ $0,7\mathrm{bar}$.

5) L'hélium. $T_f=\frac{5}{3}\times 293=488\mathrm{K}$ : plus chaud encore, car pour un gaz monoatomique le travail $P_0{V}_0=nR{T}_0$ pèse davantage devant l'énergie interne $\frac{3}{2}nR{T}_0$. La phrase se comprend maintenant littéralement : pour qu'une quantité de gaz existe à un endroit, il ne suffit pas de lui donner son énergie interne $U$, il faut aussi lui faire de la place en repoussant le milieu extérieur, ce qui coûte $PV$. L'enthalpie $H=U+PV$ est le total. Quand la matière entre dans la bouteille vide, c'est l'atmosphère qui paie ce $PV$, et il se retrouve en énergie interne.

Ce que l'exercice installe. Face à un système ouvert, on suit la matière : on choisit un système fermé qui contient ce qui va entrer, et l'on traque le travail que reçoit sa frontière mobile. C'est le geste qui, en deuxième année, conduira aux systèmes en écoulement. Et l'interprétation de l'enthalpie comme énergie interne plus le prix de la place occupée, qui fait de $H$ la grandeur naturelle dès que de la matière est poussée par une pression extérieure.