Billette sortant du four — exercice corrigé de thermodynamique : transferts thermiques (MPI) (chapitre 2)

Billette sortant du four

Rayonnement thermique · niveau 2

Énoncé

Une billette d'acier oxydé (corps gris, $ε = 0, 80$ , surface $S = 0.50 m^{2}$ , masse $m = 100 k g$ , capacité thermique massique moyenne $c = 650 J . k g^{- 1} . K^{- 1}$ ) sort d'un four à $T = 1200 K$ et refroidit dans un grand atelier dont les parois sont à $T_{0} = 300 K$ . Calculer la puissance perdue par rayonnement à la sortie du four, puis la vitesse initiale de refroidissement, la convection étant négligée. Justifier cette dernière hypothèse avec un coefficient de convection naturelle $h \approx 10 W . m^{- 2} . K^{- 1}$ (loi de Newton : $P_{conv} = h S (T - T_{0})$ ).

Corrigé

La billette, convexe, est petite devant l'atelier : $P = ε σ S (T^{4} - T_{0}^{4}) = 0, 80 \times 5, 67 \times 1 0^{- 8} \times 0, 50 \times (120 0^{4} - 30 0^{4})$ . Or $120 0^{4} = 2, 074 \times 1 0^{12}$ et $30 0^{4} = 8, 1 \times 1 0^{9}$ (négligeable). D'où $P \approx 2, 27 \times 1 0^{- 8} \times 2, 07 \times 1 0^{12} \approx 4.7 \times 1 0^{4} W$ , soit $47 k W$ . Le premier principe appliqué à la billette (solide, température supposée uniforme) donne $m c \frac{d T}{d t} = - P$ , soit $\frac{d T}{d t} = - \frac{4.7 \times 1 0 ^{4} W}{100 k g \times 650 J . k g ^{- 1} . K ^{- 1}} \approx - 0.72 K . s^{- 1}$ , environ $43 K$ par minute au début. La convection ajouterait $h S (T - T_{0}) = 10 \times 0, 50 \times 900 = 4.5 k W$ , dix fois moins : à $1200 K$ , le rayonnement domine ( $h_{r} = 4 ε σ T^{3} \approx 300 W . m^{- 2} . K^{- 1}$ vers $1200 K$ ). Comme $P \propto T^{4}$ , le refroidissement ralentit vite quand la billette se refroidit.