Pourquoi une fenêtre ouverte paraît noire : la cavité, absorbant presque parfait

La stratégie. On suit le flux réflexion après réflexion : à chaque passage sur les parois, il perd la fraction $a$ ; de ce qui est réfléchi, la fraction $f$ s'échappe. On obtient une série géométrique.

1) Le facteur de réflexion de l'ouverture. Au premier impact, la paroi absorbe $a{\Phi }_0$ et réfléchit $(1-a){\Phi }_0$ ; de ce flux réfléchi, la fraction $f$ sort : $(1-a)f{\Phi }_0$. La fraction $1-f$, soit $(1-a)(1-f){\Phi }_0$, retombe sur les parois et subit le même sort : après le deuxième impact, il sort $(1-a)f{\Phi }_0\times (1-a)(1-f)$, et ainsi de suite. Avec $q=(1-a)(1-f)<1$, le flux total qui ressort est $$(1-a)f{\Phi }_0\left(1+q+q^2+\cdots \right)=\frac{(1-a)f{\Phi }_0}{1-q},$$ d'où $r_{\text{eff}}=\frac{(1-a)f}{1-(1-a)(1-f)}$. Le facteur d'absorption se simplifie, car $1-(1-a)(1-f)-(1-a)f=1-(1-a)=a$ : $$a_{\text{eff}}=1-r_{\text{eff}}=\frac{a}{1-(1-a)(1-f)}=\frac{a}{a+(1-a)f}.$$ Cas limites. $f\to 0$ : $a_{\text{eff}}\to 1$ quel que soit $a$ : une petite ouverture dans une grande cavité est un absorbant parfait, c'est la réalisation du corps noir du cours. $a\to 1$ : des parois noires suffisent. $f\to 1$ : $a_{\text{eff}}\to a$, on retrouve la paroi seule. Toujours $a⩽a_{\text{eff}}⩽1$. Hypothèses : la répartition « au prorata des aires » est exacte pour une cavité sphérique à parois parfaitement diffusantes, approchée ailleurs ; le premier impact a lieu sur une paroi (le faisceau ne ressort pas directement).

2) La fenêtre. Surface intérieure : $S=2(4\times 5+4\times 2,5+5\times 2,5)=85{\mathrm{m}}^2$ ; fenêtre $s=1,8{\mathrm{m}}^2$, d'où $f=0,0212$.

• $a=0,5$ : $r_{\text{eff}}=\frac{0,5\times 0,0212}{1-0,5\times 0,9788}=0,0207$, soit $2,1\%$ ;
• $a=0,2$ : $r_{\text{eff}}=\frac{0,8\times 0,0212}{1-0,8\times 0,9788}=0,0781$, soit $7,8\%$.

La façade renvoie $60\%$ : la fenêtre est 8 à 29 fois plus sombre qu'elle, même quand la pièce est peinte en blanc. La lumière entrée rebondit de nombreuses fois avant de retrouver la sortie, et perd à chaque rebond une partie de son énergie. La pupille est l'ouverture d'une cavité, le globe oculaire, aux parois très absorbantes : elle est noire pour la même raison.

3) Le corps noir de laboratoire. Surface intérieure, couvercle compris : $S=\pi \times 0,050\times 0,200+2\times \pi \times 0,025^2=3,53\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ ; orifice $s=\pi \times 0,005^2=7,85\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$ ; $f=2,22\times 10^{-3}$.

• $a=0,80$ : $a_{\text{eff}}=\frac{0,80}{0,80+0,20\times 2,22\times 10^{-3}}=0,99944$ ;
• $a=0,5$ : $a_{\text{eff}}=\frac{0,5}{0,5+0,5\times 2,22\times 10^{-3}}=0,9978$.

Quand la paroi passe de $0,80$ à $0,5$, l'orifice passe de $0,9994$ à $0,998$ : c'est la géométrie, un petit $f$, qui fait l'absorbant parfait ; le revêtement ne fait que gagner une décimale. La figure trace $a_{\text{eff}}$ en fonction de $f$.

4) Le four à $1000{}^{\circ }\mathrm{C}$. $T=1273\mathrm{K}$. Wien : ${\lambda }_{\max }=\frac{2900\mu \mathrm{m}\mathrm{K}}{1273\mathrm{K}}=2,28\mu \mathrm{m}$, dans l'infrarouge proche. L'œil ne voit que la queue du spectre aux courtes longueurs d'onde : la fraction émise au-dessous de $0,8\mu \mathrm{m}$ (soit $\lambda T\approx 1000\mu \mathrm{m}\mathrm{K}$) est de l'ordre de $3\times 10^{-4}$, et elle se concentre dans le rouge, d'où la couleur « rouge sombre » des métaux à cette température. Exitance du corps noir : $M^{\circ }=\sigma T^4=5,67\times 10^{-8}\times 1273^4=1,49\times 10^5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$. Par la loi de Kirchhoff, l'orifice émet $a_{\text{eff}}{M}^{\circ }s=0,9994\times 1,49\times 10^5\times 7,85\times 10^{-5}=11,7\mathrm{W}$, à $0,06\%$ près ce qu'émettrait un corps noir idéal de même aire. C'est l'étalon sur lequel on règle les pyromètres et les caméras thermiques étudiés plus loin.

Ce que l'exercice installe. Un corps noir se fabrique : une petite ouverture dans une cavité isotherme absorbe la fraction $a_{\text{eff}}=\frac{a}{a+(1-a)f}$, voisine de 1 dès que $f\ll a$, quel que soit le revêtement. Une série géométrique suffit à sommer les réflexions. La loi de Kirchhoff transforme un absorbant parfait en émetteur parfait ; Wien et Stefan donnent alors la couleur et la puissance.