Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 1 — Partie 2 (Q5 à Q9) : Endomorphisme induit sur RN[X] : matrice triangulaire, valeurs propres k(k+1) distinctes, sous-espaces propres engendrés par les Pk

Q5. D'après Q1(b), pour tout $k\in \mathbb{N}$, $\phi (X^k)$ est combinaison linéaire de $X^k$ et (si $k⩾2$) de $X^{k-2}$ : $\phi (X^k)\in {\mathbb{R}}_k[X]$. Soit $P={\sum }_{k=0}^N{a}_k{X}^k\in {\mathbb{R}}_N[X]$. Par linéarité de $\phi$ (Q1(a)),

$$\phi (P)=\sum _{k=0}^N{a}_k\phi (X^k)\in {\mathbb{R}}_N[X],$$

car chaque $\phi (X^k)$, $k⩽N$, appartient à ${\mathbb{R}}_k[X]\subset {\mathbb{R}}_N[X]$ et ${\mathbb{R}}_N[X]$ est un sous-espace vectoriel. Donc $\boxed{\phi ({\mathbb{R}}_N[X])\subset {\mathbb{R}}_N[X]}$ : ${\mathbb{R}}_N[X]$ est stable par $\phi$ et ${\phi }_N$ est un endomorphisme de ${\mathbb{R}}_N[X]$.

Ce que le correcteur attend : un argument valable pour tous les polynômes de ${\mathbb{R}}_N[X]$, pas seulement pour $X^N$ ; ici, l'image de chaque vecteur de base plus la linéarité.

Q6. $\dim {\mathbb{R}}_N[X]=N+1$, donc $M_N$ est une matrice carrée de taille $(N+1)\times (N+1)$. On numérote lignes et colonnes de $0$ à $N$, selon la base $(1,X,\dots ,X^N)$ ; la colonne $j$ contient les coordonnées de $\phi (X^j)$, données par Q1(b). Le coefficient d'indice $(i,j)$ vaut donc