Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 1 — Partie 3 (Q10 à Q13) : Produit scalaire intégral sur [−1, 1] : orthogonalité des polynômes de Legendre, calcul de leur norme, base orthonormée

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations des parties précédentes : $φ (P) = ((X^{2} - 1) P^{'})^{'}$ , $U_{n} = (X^{2} - 1)^{n}$ , $P_{n} = U_{n}^{(n)}$ , $φ (P_{n}) = n (n + 1) P_{n}$ . On pose, pour $P, Q \in R [X]$ , $⟨ P, Q ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t$ et $∥ \cdot ∥$ la norme associée. On cherche $(Q_{n})_{n \in N}$ telle que, pour tout $n$ , $(Q_{0}, \dots, Q_{n})$ soit une base orthonormée de $R_{n} [X]$ .

Q10. Vérifier que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $R [X]$ .
Q11. (a) Montrer que $⟨ φ (P_{n}), P_{m} ⟩ = ⟨ P_{n}, φ (P_{m})⟩$ . (b) En déduire $⟨ P_{n}, P_{m} ⟩ = 0$ pour $n \neq = m$ .
Q12. On fixe $n \in N$ . (a) Racines de $U_{n}$ et multiplicités. (b) Montrer que $∥ P_{n} ∥^{2} = (- 1)^{n} ⟨ U_{n}^{(2 n)}, U_{n} ⟩$ . (c) Calculer $U_{n}^{(2 n)}$ . (d) On admet $\int_{- 1}^{1} (t^{2} - 1)^{n} d t = (- 1)^{n} \frac{2 ^{2 n + 1} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ ; en déduire $∥ P_{n} ∥$ .
Q13. Donner une suite $(Q_{n})_{n \in N}$ solution.

Corrigé

Q10. Pour $P, Q \in R [X]$ , la fonction $t \mapsto P (t) Q (t)$ est polynomiale donc continue sur le segment $[- 1, 1]$ : $⟨ P, Q ⟩$ est bien défini et c'est un réel.

Symétrie : $P (t) Q (t) = Q (t) P (t)$ , donc $⟨ P, Q ⟩ = ⟨ Q, P ⟩$ .
Linéarité à gauche : pour $P_{1}, P_{2}, Q \in R [X]$ et $λ, μ \in R$ , par linéarité de l'intégrale, $⟨ λ P_{1} + μ P_{2}, Q ⟩ = λ ⟨ P_{1}, Q ⟩ + μ ⟨ P_{2}, Q ⟩$ . Avec la symétrie, l'application $(P, Q) \mapsto ⟨ P, Q ⟩$ est bilinéaire.
Positivité : $⟨ P, P ⟩ = \int_{- 1}^{1} P (t)^{2} d t ⩾ 0$ par positivité de l'intégrale ( $- 1 < 1$ ).
Caractère défini : si $⟨ P, P ⟩ = 0$ , la fonction $t \mapsto P (t)^{2}$ est continue, positive sur $[- 1, 1]$ et d'intégrale nulle, donc nulle sur $[- 1, 1]$ ; ainsi $P (t) = 0$ pour tout $t \in [- 1, 1]$ . Le polynôme $P$ a alors une infinité de racines, donc $P = 0$ .

Donc $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive : un produit scalaire sur $R [X]$ .

Ce que le correcteur attend : pour le caractère défini, les deux étapes « fonction continue positive d'intégrale nulle » puis « polynôme ayant une infinité de racines ».

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