Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 1 — Préliminaire et partie 1 (Q1.a à Q4.c) : Polynômes de Legendre : l'endomorphisme φ(P) = ((X²−1)P')', degrés, formule de Leibniz et φ(Pn) = n(n+1)Pn

Q1. (a) $\phi$ est bien définie et à valeurs dans $\mathbb{R}[X]$. Pour $P\in \mathbb{R}[X]$, $P^{\prime }$ est un polynôme, le produit $(X^2-1)P^{\prime }$ est un polynôme et sa dérivée aussi : $\phi (P)\in \mathbb{R}[X]$. En développant la dérivée d'un produit,

$$\phi (P)=2X{P}^{\prime }+(X^2-1)P^{\prime \prime }.$$

Linéarité. Soient $P,Q\in \mathbb{R}[X]$ et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. La dérivation $D:P\mapsto P^{\prime }$ est linéaire, ainsi que la multiplication par le polynôme fixé $X^2-1$ ; donc

$$\begin{array}{rl}\phi (\lambda P+\mu Q)& =((X^2-1)(\lambda P^{\prime }+\mu Q^{\prime }){)}^{\prime }=\lambda ((X^2-1)P^{\prime }{)}^{\prime }+\mu ((X^2-1)Q^{\prime }{)}^{\prime }\\ & =\lambda \phi (P)+\mu \phi (Q).\end{array}$$

Ainsi $\phi$ est une application linéaire de $\mathbb{R}[X]$ dans lui-même : $\boxed{\phi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}[X])}$.

Ce que le correcteur attend : les deux points, « à valeurs dans $\mathbb{R}[X]$ » et « linéaire » ; il n'y a pas à comparer $\mathrm{deg}\phi (P)$ et $\mathrm{deg}P$ ici.