Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 2 — Partie 1 (Q1 à Q4) : Pari à n joueurs : lois de Bernoulli et binomiale, somme des gains, espérance du gain par linéarité

Q1. Loi de $Y_k$. Notons $R$ l'équipe gagnante et $B_k$ l'équipe choisie par le joueur $k$, et $p_k=\mathbf{P}(B_k=A)$. Le système complet $((R=A),(R=B))$ et l'indépendance de $R$ et $B_k$ (le match n'est pas truqué) donnent, par la formule des probabilités totales,

$$\mathbf{P}(Y_k=1)=\mathbf{P}(R=A)\mathbf{P}(B_k=A)+\mathbf{P}(R=B)\mathbf{P}(B_k=B)=\frac{1}{2}{p}_k+\frac{1}{2}(1-p_k)=\frac{1}{2}.$$

Ainsi $Y_k$, à valeurs dans $\{0,1\}$, suit la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ : $\boxed{\mathbf{P}(Y_k=1)=\mathbf{P}(Y_k=0)=\frac{1}{2}}$, quelle que soit la façon dont le joueur choisit son équipe.

Loi de $N$. Les paris étant faits indépendamment, les variables $Y_1,\dots ,Y_n$ sont mutuellement indépendantes : c'est ainsi que se lit l'hypothèse de l'énoncé (elle est vérifiée par exemple si chaque joueur choisit son équipe à pile ou face, indépendamment des autres et du match : pour tout $(y_1,\dots ,y_n)\in \{0,1{\}}^n$, en conditionnant par $R$, $\mathbf{P}(Y_1=y_1,\dots ,Y_n=y_n)=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{)}^n+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}{)}^n=(\frac{1}{2}{)}^n={\prod }_k\mathbf{P}(Y_k=y_k)$). Alors $N={\sum }_{k=1}^n{Y}_k$ est la somme de $n$ variables de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ indépendantes : $N$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,\frac{1}{2})$,