Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 2 — Partie 2 (Q5 à Q8) : Loi du gain d'un joueur : loi conditionnelle binomiale, espérance par le binôme, non-indépendance des gains

Q5. Si $Y_k=0$, le joueur $k$ a perdu et $X_k=0$. Si $Y_k=1$, il y a au moins un gagnant, $1⩽N⩽n$, et $X_k=\frac{n}{N}⩾1>0$. Donc les événements $(X_k=0)$ et $(Y_k=0)$ sont égaux, et

$$\boxed{\mathbf{P}(X_k=0)=\mathbf{P}(Y_k=0)=\frac{1}{2}.}$$

Q6. (a) Sur l'événement $(Y_k=1)$, $N-1={\sum }_{j\ne k}{Y}_j$. La variable $N^{\prime }={\sum }_{j\ne k}{Y}_j$ est une fonction de $(Y_j{)}_{j\ne k}$, donc, par le lemme des coalitions, elle est indépendante de $Y_k$ ; somme de $n-1$ variables de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ indépendantes, elle suit la loi $\mathcal{B}(n-1,\frac{1}{2})$. Pour $i\in [[0,n-1]]$, comme $\mathbf{P}(Y_k=1)=\frac{1}{2}>0$,

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}_{(Y_k=1)}(N-1=i)& =\frac{\mathbf{P}((N^{\prime }=i)\cap (Y_k=1))}{\mathbf{P}(Y_k=1)}=\frac{\mathbf{P}(N^{\prime }=i)\mathbf{P}(Y_k=1)}{\mathbf{P}(Y_k=1)}\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i}\right)\frac{1}{2^{n-1}}.\end{array}$$