Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 2 — Partie 3 (Q9.a à Q11) : Match retour où chacun remise son gain : probabilités totales, espérance, variance et covariance

Modélisation. Notons $Y_k^{\prime }$ la variable qui vaut $1$ si le joueur $k$ gagne le second pari, $0$ sinon. Comme au premier match, $Y_1^{\prime },\dots ,Y_n^{\prime }$ sont indépendantes de loi $\mathcal{B}\left(\frac{1}{2}\right)$ ; le second match et les seconds paris étant indépendants du premier tour, la famille $(Y_1^{\prime },\dots ,Y_n^{\prime })$ est indépendante de $(Y_1,\dots ,Y_n)$. Tous les joueurs participent (même ceux qui misent $0$), donc $M={\sum }_k{Y}_k^{\prime }\sim \mathcal{B}(n,\frac{1}{2})$ ; c'est la lecture que confirme la formule donnée en (b). Enfin $Z_k=\frac{S}{M}$ si $Y_k^{\prime }=1$ (alors $M⩾1$), $Z_k=0$ sinon, et comme en Q2 :

$$T=S{1}_{(M⩾1)}\in \{0,n\}.$$

On pose $q=1-\frac{1}{2^n}$, de sorte que $\mathbf{P}(S=n)=q$ et $\mathbf{P}(M=0)=1-q=\frac{1}{2^n}$.

Q9. (a) Les deux conditionnements sont licites : $\mathbf{P}(S=0)=2^{-n}>0$ et $\mathbf{P}(S=n)=q>0$. Sur $(S=0)$, la mise totale est nulle, tous les $Z_k$ sont nuls et $T=0$ : $\boxed{{\mathbf{P}}_{(S=0)}(T=0)=1}$. Sur $(S=n)$, $T=0$ si et seulement si $M=0$. Or $S$ est fonction de $(Y_1,\dots ,Y_n)$ et $M$ de $(Y_1^{\prime },\dots ,Y_n^{\prime })$ : par le lemme des coalitions, $S$ et $M$ sont indépendantes, donc

$${\mathbf{P}}_{(S=n)}(T=0)={\mathbf{P}}_{(S=n)}(M=0)=\mathbf{P}(M=0)=\boxed{(\frac{1}{2}{)}^n.}$$