Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques A PT — Exercice 2 — Partie 4 (Q12.a à Q14) : Match retour entre gagnants : support, lois conditionnelles, loi et espérance de la somme des gains

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie 1 : $Y_{k}$ indique si le joueur $k$ a gagné le premier pari, $N = \sum_{k} Y_{k} \sim B (n, \frac{1}{2})$ . Seuls les $N$ gagnants du premier match parient sur un second match, indépendant du premier ; chacun mise $1$ euro et les gagnants du second pari se partagent la mise totale $N$ . On note $W_{k}$ le gain du joueur $k$ au second pari ( $W_{k} = 0$ s'il a perdu le premier) et $U = \sum_{k = 1}^{n} W_{k}$ .

Q12. (a) Donner le support de $U$ . (b) Pour $(i, j) \in N (Ω) \times U (Ω)$ avec $i \neq = 0$ et $j \neq = 0$ , donner $P_{(N = i)} (U = j)$ . (c) Donner la loi et l'espérance de $U$ .
Q13. En déduire $E (W_{k})$ .
Q14. Le joueur $k$ a-t-il intérêt à parier sur ce deuxième match ?

Corrigé

Modélisation. Pour la commodité, on fait comme si chaque joueur choisissait aussi une équipe pour le second match (choix sans effet pour un perdant de l'aller) ; $Y_{k}^{'}$ vaut $1$ si ce choix est le bon. Comme au premier tour, $Y_{1}^{'}, \dots, Y_{n}^{'}$ sont indépendantes de loi $B (\frac{1}{2})$ , et la famille $(Y_{k}^{'})$ est indépendante de $(Y_{k})$ . Le nombre de gagnants du second pari est $L = \sum_{k = 1}^{n} Y_{k} Y_{k}^{'}$ , et

$W_{k} = \frac{N}{L} si Y_{k} Y_{k}^{'} = 1, W_{k} = 0 sinon, U = N 1_{(L ⩾ 1)} .$

Q12. (a) $U$ vaut $0$ (aucun participant, ou aucun gagnant au second pari) ou $N$ (s'il y a au moins un gagnant, les $N$ euros sont distribués). Comme $N (Ω) = [[0, n]]$ , on a $U (Ω) \subset [[0, n]]$ , et chaque valeur est atteinte : $0$ sur $(N = 0)$ , de probabilité $2^{- n} > 0$ ; et $j \in [[1, n]]$ dès que $N = j$ et $L ⩾ 1$ , événement de probabilité $(j n) \frac{1}{2 ^{n}} (1 - \frac{1}{2 ^{j}}) > 0$ par (b) ci-dessous. Donc

$U (Ω) = [[0, n]] .$

Ce que le correcteur attend : un ensemble de nombres, pas « ${0, N}$ », qui dépend de l'issue puisque $N$ est une variable aléatoire.

(b) Soient $i, j \in [[1, n]]$ ; $P (N = i) = (i n) 2^{- n} > 0$ . Sur $(N = i)$ , $U \in {0, i}$ .

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