Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 1 (Q1 à Q6) : La conique 2√3 xy − 2y² = 3 : réduction par une base orthonormée directe de vecteurs propres, hyperbole, sommets, asymptotes, tracé

Q1. L'équation est de la forme $q(x,y)=3$, où $q(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$ est sa partie quadratique, avec ici $a=0$, $2b=2\sqrt{3}$ (donc $b=\sqrt{3}$) et $c=-2$ ; il n'y a pas de terme du premier degré. La matrice associée est la matrice symétrique réelle de $q$ :

$$\boxed{Q=\left(\begin{array}{cc}0& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& -2\end{array}\right)}\text{de sorte que}q(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)Q\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right).$$

Contrôle : $\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)Q\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0\cdot x^2+2\sqrt{3}xy-2y^2$.

Q2. Le polynôme caractéristique de $Q$ est

$${\chi }_Q(\lambda )=\det (\lambda I_2-Q)=\left|\begin{array}{cc}\lambda & -\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}& \lambda +2\end{array}\right|=\lambda (\lambda +2)-3={\lambda }^2+2\lambda -3=(\lambda -1)(\lambda +3).$$

Les valeurs propres de $Q$ sont donc $\boxed{1\text{ et }-3}$ (contrôle : leur somme $-2$ est la trace, leur produit $-3$ le déterminant).

Sous-espace propre pour $1$. $(x,y)\in E_1⟺(Q-I_2)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0⟺\{\begin{array}{l}-x+\sqrt{3}y=0\\ \sqrt{3}x-3y=0\end{array}⟺x=\sqrt{3}y$ (la seconde équation est $-\sqrt{3}$ fois la première). Donc $\boxed{E_1=\mathrm{Vect}((\sqrt{3},1))}$, la droite d'équation $x-\sqrt{3}y=0$.

Sous-espace propre pour $-3$. $(x,y)\in E_{-3}⟺\{\begin{array}{l}3x+\sqrt{3}y=0\\ \sqrt{3}x+y=0\end{array}⟺y=-\sqrt{3}x$. Donc $\boxed{E_{-3}=\mathrm{Vect}((-1,\sqrt{3}))}$, la droite d'équation $\sqrt{3}x+y=0$.

Comme le prévoit le théorème spectral ($Q$ est symétrique réelle), ces deux droites sont orthogonales : $(\sqrt{3},1)\cdot (-1,\sqrt{3})=-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0$.

Ce que le correcteur attend : des sous-espaces (des $\mathrm{Vect}$, obtenus par résolution du système), pas seulement un vecteur propre.

Q3. On norme les vecteurs propres de Q2 : $\Vert (\sqrt{3},1)\Vert =\Vert (-1,\sqrt{3})\Vert =2$, d'où

$$\overrightarrow{u}=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\overrightarrow{ı}+\overrightarrow{ȷ}),\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{ı}+\sqrt{3}\overrightarrow{ȷ}).$$