Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie I (Q1 à Q4) : Une équation différentielle linéaire d'ordre 2 sur ]1, +∞[ : coefficient de y'' non nul, structure et dimension des solutions, la solution 1/x

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On veut résoudre sur l'intervalle $I =] 1, + \infty [$ l'équation différentielle

$(E) : (3 x + 1) y + (2 - x) y^{'} - \frac{x}{2} (3 x^{2} + 2 x - 2) y^{''} = 3 (x^{2} + x + 1),$

d'équation homogène associée $(E_{H})$ (même premier membre, second membre nul). On note $S$ et $S_{H}$ les ensembles des solutions réelles de $(E)$ et de $(E_{H})$ sur $I$ .

Q1. Montrer que $3 x^{2} + 2 x - 2 \neq = 0$ pour tout $x > 1$ .
Q2. Montrer que $S_{H}$ est un sous-espace vectoriel de l'espace $D_{2}$ des fonctions deux fois dérivables sur $I$ .
Q3. Donner, sans démonstration, la dimension de $S_{H}$ .
Q4. Montrer que $f_{1} : x \mapsto \frac{1}{x}$ est solution de $(E_{H})$ sur $I$ .

Corrigé

Q1. Soit $x \in] 1, + \infty [$ . Comme $x > 1 > 0$ , on a $x^{2} > 1$ , donc $3 x^{2} > 3$ , et $2 x > 2$ . En additionnant :

$3 x^{2} + 2 x - 2 > 3 + 2 - 2 = 3 > 0.$

Ainsi $\forall x \in] 1, + \infty [, 3 x^{2} + 2 x - 2 > 0$ , et en particulier $3 x^{2} + 2 x - 2 \neq = 0$ .

Autre voie. Le trinôme $3 x^{2} + 2 x - 2$ a pour discriminant $Δ = 4 + 24 = 28 > 0$ et pour racines $\frac{- 2 \pm 2 7}{6} = \frac{- 1 \pm 7}{3}$ . Or $7 < 3$ (car $7 < 9$ ), donc $\frac{- 1 + 7}{3} < \frac{2}{3} < 1$ : les deux racines sont strictement inférieures à $1$ , et le trinôme, de coefficient dominant $3 > 0$ , est strictement positif à droite de sa plus grande racine, donc sur $] 1, + \infty [$ .

Ce que le correcteur attend : l'inégalité $\frac{- 1 + 7}{3} < 1$ démontrée, pas seulement affirmée.

Conséquence. Pour $x > 1$ , le coefficient de $y^{''}$ , $- \frac{x}{2} (3 x^{2} + 2 x - 2)$ , est non nul (produit de $- \frac{x}{2} \neq = 0$ et d'un facteur non nul). On peut donc diviser par lui : sur $I$ , $(E)$ équivaut à l'équation normalisée

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →