Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie II (Q5 à Q9) : Une matrice 3×3 non inversible : noyau, image par le théorème du rang, compatibilité et résolution de deux systèmes

Q5. Développons le déterminant de $A$ selon la première ligne :

$$\det A=1\cdot \left|\begin{array}{cc}0& 6\\ 3& -3\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}3& 6\\ 0& -3\end{array}\right|+0=1\cdot (0-18)-2\cdot (-9-0)=-18+18=0.$$

Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul : ici $\det A=0$, donc $A$ n'est pas inversible.

Autre voie, plus parlante. Les colonnes $C_1=(1,3,0)$, $C_2=(2,0,3)$, $C_3=(0,6,-3)$ vérifient $C_2+C_3=(2,6,0)=2C_1$, soit $2C_1-C_2-C_3=0$ : les colonnes sont liées, donc $A$ n'est pas inversible. Cette relation fournit d'ailleurs un vecteur non nul du noyau, $(2,-1,-1)$.

Ce que le correcteur attend : une raison de non-inversibilité mise en évidence (déterminant nul calculé jusqu'au bout, ou relation de liaison explicite, ou vecteur non nul du noyau). Trouver « $A$ inversible » puis, en Q6, un noyau non réduit à $\{0\}$ doit alerter.