Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie III (Q10 à Q13) : L'opérateur différentiel de l'équation restreint à R2[X] : endomorphisme, matrice, noyau et solution polynomiale

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$R_{2} [X]$ est l'espace des polynômes réels de degré au plus $2$ , de base canonique $B = (1, X, X^{2})$ . Pour $P \in R_{2} [X]$ , on pose

$φ (P) = (3 X + 1) P + (2 - X) P^{'} - \frac{X}{2} (3 X^{2} + 2 X - 2) P^{''} .$

La matrice $A$ est celle de la partie II.

Q10. Calculer $φ (1)$ , $φ (X)$ , $φ (X^{2})$ .
Q11. Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $R_{2} [X]$ .
Q12. Déterminer la matrice de $φ$ dans la base $B$ .
Q13. En déduire, sans calcul, le noyau de $φ$ et une solution de $φ (P) = 3 (X^{2} + X + 1)$ .

Corrigé

Q10. Pour $P = 1$ : $P^{'} = P^{''} = 0$ , donc

$φ (1) = (3 X + 1) \cdot 1 = 3 X + 1 .$

Pour $P = X$ : $P^{'} = 1$ , $P^{''} = 0$ , donc

$φ (X) = (3 X + 1) X + (2 - X) \cdot 1 = 3 X^{2} + X + 2 - X = 3 X^{2} + 2 .$

Pour $P = X^{2}$ : $P^{'} = 2 X$ , $P^{''} = 2$ , donc

$φ (X^{2}) = (3 X + 1) X^{2} + (2 - X) \cdot 2 X - \frac{X}{2} (3 X^{2} + 2 X - 2) \cdot 2 = 3 X^{3} + X^{2} + 4 X - 2 X^{2} - 3 X^{3} - 2 X^{2} + 2 X = - 3 X^{2} + 6 X .$

Les termes en $X^{3}$ se compensent : c'est ce qui fera de $φ$ un endomorphisme de $R_{2} [X]$ .

Q11. Linéarité. Soient $P, Q \in R_{2} [X]$ et $λ \in R$ . La dérivation est linéaire : $(λ P + Q)^{'} = λ P^{'} + Q^{'}$ et $(λ P + Q)^{''} = λ P^{''} + Q^{''}$ ; la multiplication par un polynôme fixé est distributive. Donc

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