Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie IV (Q14) : Synthèse : base 1/x, x² + x − 2 des solutions homogènes, solution particulière 1 + x, ensemble des solutions

Q14. Le lien entre $\phi$ et l'équation. Pour un polynôme $P\in {\mathbb{R}}_2[X]$, notons $\tilde{P}$ la fonction polynomiale $x\mapsto P(x)$ sur $I$ ; elle est deux fois dérivable, et ses dérivées sont les fonctions polynomiales associées à $P^{\prime }$ et $P^{\prime \prime }$. En évaluant en $x$ l'égalité de polynômes qui définit $\phi (P)$, on obtient, pour tout $x\in I$,

$$(3x+1)\tilde{P}(x)+(2-x)\tilde{P}{}^{\prime }(x)-\frac{x}{2}(3x^2+2x-2)\tilde{P}{}^{\prime \prime }(x)=\phi (P)(x).$$

Par conséquent :

• si $\phi (P)=0$, alors $\tilde{P}$ est solution de $(E_H)$ sur $I$ ;
• si $\phi (P)=3(X^2+X+1)$, alors $\tilde{P}$ est solution de $(E)$ sur $I$.