Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 3 — Partie I (Q1.a à Q4.d) : Le cône x² = 2yz : symétrie, point singulier, plans tangents ; une courbe tracée orthogonale aux sections horizontales (ligne de plus grande pente)

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; , , k)$ . $S$ est la surface d'équation $x^{2} = 2 y z$ ; $Γ$ est la courbe $t \mapsto M (t) = (2 cos t, sin t, \frac{1}{s i n t} - sin t)$ , pour $0 < t < \frac{π}{2}$ . Pour $a \in R$ , $P_{a}$ est le plan $z = a$ et $Γ_{a} = S \cap P_{a}$ .

Q1. (a) Justifier que le plan $x = 0$ est un plan de symétrie de $S$ . (b) Déterminer les points non réguliers de $S$ . (c) Vérifier que $A (2, - 2, - 1) \in S$ et donner une équation du plan tangent à $S$ en $A$ . (d) Montrer que les points réguliers de $S$ où le plan tangent est parallèle au plan $23 x + 2 y + 3 z = 0$ forment une droite privée de $O$ , dont on donnera un vecteur directeur. (e) Existe-t-il un point régulier de $S$ où le plan tangent est orthogonal à $ +  + k$ ?
Q2. Montrer que $Γ$ est régulière.
Q3. Vérifier que $Γ \subset S$ .
Q4. Soit $t$ fixé. (a) Pour quel $a$ a-t-on $M (t) \in Γ_{a}$ ? (b) Donner un vecteur directeur $v (t)$ de la tangente à $Γ$ en $M (t)$ . (c) Vérifier que $M (t)$ est un point régulier de $Γ_{a}$ et donner un vecteur directeur $u (t)$ de sa tangente à $Γ_{a}$ . (d) Montrer que $u (t) ⊥ v (t)$ .

Corrigé

Posons $F (x, y, z) = x^{2} - 2 y z$ : $F$ est polynomiale, donc de classe $C^{1}$ sur $R^{3}$ , et $S = {M; F (M) = 0}$ . Son gradient est

$\nabla F (x, y, z) = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}) = (2 x, - 2 z, - 2 y) .$

Q1. (a) Le plan d'équation $x = 0$ est un plan de symétrie de $S$ si la réflexion $s$ par rapport à ce plan, $s (x, y, z) = (- x, y, z)$ , vérifie $s (S) \subset S$ (et alors $s (S) = S$ , puisque $s \circ s = id$ ). Soit $M (x, y, z) \in S$ : $x^{2} = 2 y z$ . Alors $s (M) = (- x, y, z)$ vérifie $(- x)^{2} = x^{2} = 2 y z$ , donc $s (M) \in S$ . Le plan $x = 0$ est un plan de symétrie de $S$ .

Ce que le correcteur attend : la réflexion $(x, y, z) \mapsto (- x, y, z)$ , pas l'intersection de $S$ avec le plan $x = 0$ , ni la symétrie par rapport à un axe.

(b) Un point $M$ de $S$ est non régulier si $\nabla F (M) = 0$ . Or

$\nabla F (x, y, z) = 0 ⟺ 2 x = 0, - 2 z = 0, - 2 y = 0 ⟺ (x, y, z) = (0, 0, 0),$

et $O \in S$ car $0^{2} = 2 \cdot 0 \cdot 0$ . Le seul point non régulier de $S$ est $O$ ; tous les autres points de $S$ sont réguliers. (L'équation est homogène de degré $2$ : $S$ est un cône de sommet $O$ .)

$\nabla F (A) = (2 \cdot 2, - 2 \cdot (- 1), - 2 \cdot (- 2)) = (4, 2, 4) \neq = 0,$

donc $A$ est régulier et le plan tangent en $A$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\nabla F (A)$ :

$4 (x - 2) + 2 (y + 2) + 4 (z + 1) = 0 ⟺ 4 x + 2 y + 4 z = 0 ⟺ 2 x + y + 2 z = 0.$

Contrôle : $A$ vérifie $4 - 2 - 2 = 0$ . Le plan passe par $O$ , comme tout plan tangent au cône (il contient la génératrice $(O A)$ ).

Ce que le correcteur attend : évaluer le gradient $(2 x, - 2 z, - 2 y)$ dans cet ordre : le rapport signale de nombreux $(x, - y, - z)$ évalués à la place, d'où $(4, 4, 2)$ , faux.

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