Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques B PT — Exercice 3 — Partie II (Q1.a à Q5.b) : Lignes de plus grande pente d'une surface z = φ(x, y) ; sur la surface de révolution z = h(x² + y²), elles sont tracées sur les méridiennes

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$φ$ est de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ de $R^{2}$ , $f$ et $g$ de classe $C^{1}$ sur un intervalle ouvert $I$ , avec, pour tout $t \in I$ , $(f (t), g (t)) \in U$ et $(\frac{\partial φ}{\partial x}, \frac{\partial φ}{\partial y}) (f (t), g (t)) \neq = (0, 0)$ . $Σ$ est la surface $z = φ (x, y)$ ; $Γ$ est la courbe régulière $t \mapsto M (t) = (f (t), g (t), Φ (t))$ , où $Φ (t) = φ (f (t), g (t))$ ; on admet $Γ \subset Σ$ .

Q1. Soit $t \in I$ , $P_{t}$ le plan $z = Φ (t)$ et $Λ_{t} = Σ \cap P_{t}$ . (a) Donner un vecteur tangent à $Λ_{t}$ en un point régulier $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ . (b) En déduire un vecteur tangent $u (t)$ à $Λ_{t}$ en $M (t)$ . (c) Donner un vecteur tangent $v (t)$ à $Γ$ en $M (t)$ , à l'aide de $f, g, Φ$ puis de $f, g, φ$ . (d) Montrer que $u (t) ⊥ v (t)$ si et seulement si

$(R) : f^{'} (t) \frac{\partial φ}{\partial y} (f (t), g (t)) - g^{'} (t) \frac{\partial φ}{\partial x} (f (t), g (t)) = 0.$

Désormais $U = R^{2}$ , $φ (x, y) = h (x^{2} + y^{2})$ avec $h$ de classe $C^{1}$ sur $R^{+}$ et $h^{'}$ ne s'annulant pas sur $R^{+}$ ; $g$ ne s'annule pas sur $I$ . On note $Q_{α}$ le plan $z = α$ et $Λ_{α}^{'} = Σ \cap Q_{α}$ .

Q2. (a) Justifier que $h$ est strictement monotone sur $R^{+}$ . (b) Justifier que pour tout $α \in h (R^{+})$ il existe un unique $t_{0} \in R^{+}$ tel que $h (t_{0}) = α$ ; et si $α \in / h (R^{+})$ ? (c) En déduire que $Λ_{α}^{'}$ est un cercle (centre, rayon) pour $α \in h (R^{+})$ ; et sinon ? (d) Justifier que $Σ$ est de révolution et préciser son axe.
Q3. Montrer que $(R)$ est vérifiée pour tout $t \in I$ si et seulement si $\frac{f}{g}$ est constante sur $I$ .
On suppose désormais $(R)$ vérifiée sur $I$ .
Q4. En déduire que $Γ$ est incluse dans un plan d'équation $x + λ y = 0$ .
Q5. (a) Rappeler la définition d'une méridienne d'une surface de révolution. (b) En déduire que $Γ$ est incluse dans une méridienne de $Σ$ .

Corrigé

On note $\partial_{x} φ$ et $\partial_{y} φ$ les dérivées partielles de $φ$ . La surface $Σ$ a pour équation $F (x, y, z) = 0$ avec $F (x, y, z) = φ (x, y) - z$ , fonction de classe $C^{1}$ sur l'ouvert $U \times R$ de $R^{3}$ , de gradient

$\nabla F (x, y, z) = (\partial_{x} φ (x, y), \partial_{y} φ (x, y), - 1) .$

Q1. (a) La courbe $Λ_{t}$ est définie par le système $F (x, y, z) = 0$ , $G (x, y, z) = 0$ , où $G (x, y, z) = z - Φ (t)$ ( $t$ est fixé), de gradient constant $\nabla G = (0, 0, 1)$ . Le point $A (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ de $Λ_{t}$ est régulier lorsque $\nabla F (A)$ et $\nabla G (A)$ sont linéairement indépendants, ce qui équivaut ici à $(\partial_{x} φ (x_{0}, y_{0}), \partial_{y} φ (x_{0}, y_{0})) \neq = (0, 0)$ (sinon $\nabla F (A) = - \nabla G$ ). En un tel point, la tangente à $Λ_{t}$ est dirigée par le produit vectoriel des deux gradients, non nul :

$\nabla F (A) \land \nabla G (A) = \partial_{x} φ (x_{0}, y_{0}) \partial_{y} φ (x_{0}, y_{0}) - 1 \land 001 = \partial_{y} φ (x_{0}, y_{0}) - \partial_{x} φ (x_{0}, y_{0}) 0 .$

Un vecteur tangent à $Λ_{t}$ en $A$ est $(\partial_{y} φ (x_{0}, y_{0}), - \partial_{x} φ (x_{0}, y_{0}), 0)$ . Il est horizontal, comme il se doit pour une courbe tracée dans le plan horizontal $P_{t}$ , et orthogonal au gradient de $φ$ , qui est normal à la ligne de niveau $φ (x, y) = Φ (t)$ dans ce plan.

Ce que le correcteur attend : un vecteur de $R^{3}$ (trois coordonnées), obtenu avec les deux surfaces $Σ$ et $P_{t}$ dont $Λ_{t}$ est l'intersection ; $f$ et $g$ n'interviennent pas encore.

(b) Le point $M (t) = (f (t), g (t), Φ (t))$ appartient à $Λ_{t}$ : il est sur $Σ$ puisque $Φ (t) = φ (f (t), g (t))$ , et sur $P_{t}$ puisque sa cote est $Φ (t)$ . Il est régulier pour $Λ_{t}$ , car l'hypothèse de l'énoncé donne $(\partial_{x} φ, \partial_{y} φ) (f (t), g (t)) \neq = (0, 0)$ . On peut donc appliquer (a) avec $A = M (t)$ :

$u (t) = (\partial_{y} φ (f (t), g (t)), - \partial_{x} φ (f (t), g (t)), 0) .$

(c) Les fonctions $f$ , $g$ sont de classe $C^{1}$ sur $I$ , à valeurs $(f (t), g (t))$ dans l'ouvert $U$ où $φ$ est de classe $C^{1}$ ; par la règle de la chaîne, $Φ$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et

$Φ^{'} (t) = f^{'} (t) \partial_{x} φ (f (t), g (t)) + g^{'} (t) \partial_{y} φ (f (t), g (t)) .$

La courbe $Γ$ étant régulière, le vecteur dérivé $M^{'} (t)$ est non nul et dirige la tangente en $M (t)$ :

$v (t) = (f^{'} (t), g^{'} (t), Φ^{'} (t))$

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