Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques C PT — Partie I (I.1 à I.10) : Primitives en ln et Arctan, valeur pi/(2 racine de 2) des intégrales de 1/(t^4+1) et t^2/(t^4+1)

Notons $P(t)=t^2-\sqrt{2}t+1$ et $Q(t)=t^2+\sqrt{2}t+1=P(-t)$. Deux identités serviront tout au long de la partie :

$$P(t)=(t-\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(2(t-\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+1),P(t)Q(t)=(t^2+1{)}^2-2t^2=t^4+1.$$

I.1. Le dénominateur de $h$ est le trinôme $P(t)=t^2-\sqrt{2}t+1$, de discriminant $\Delta =(\sqrt{2}{)}^2-4=-2<0$. Il n'a donc aucune racine réelle et garde le signe de son coefficient dominant $1>0$ : $P(t)>0$ pour tout $t\in \mathbb{R}$ (ce que confirme la forme canonique $P(t)=(t-\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+\frac{1}{2}\ge \frac{1}{2}$). La fonction rationnelle $h$ est donc définie (et continue) sur

$${\mathcal{D}}_h=\mathbb{R}.$$

I.2. La dérivée de $P$ est $P^{\prime }(t)=2t-\sqrt{2}$ : ainsi $h=\frac{P^{\prime }}{P}$ avec $P>0$ sur $\mathbb{R}$ (I.1), et $t\mapsto \ln P(t)$ est une primitive de $h$ sur $\mathbb{R}$. Pour $X\ge 0$, avec $P(0)=1$ :

$${\int }_0^{X}h(t)\mathrm{d}t=[\ln P(t){]}_0^X=\ln (X^2-\sqrt{2}X+1).$$

Pour la seconde intégrale, posons $s=-t$ (changement de variable affine sur un segment, $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}s$, $t=X\mapsto s=-X$, $t=0\mapsto s=0$) :

$${\int }_X^{0}h(-t)\mathrm{d}t={\int }_{-X}^{0}h(s)(-\mathrm{d}s)=-[\ln P(s){]}_{-X}^0=-(0-\ln P(-X)),$$

$$\text{soit}{\int }_X^{0}h(-t)\mathrm{d}t=\ln (X^2+\sqrt{2}X+1).$$

Contrôle : pour $0\le t\le X$, $h(-t)=\frac{-2t-\sqrt{2}}{Q(t)}<0$, donc ${\int }_0^{X}h(-t)\mathrm{d}t\le 0$ et ${\int }_X^{0}h(-t)\mathrm{d}t\ge 0$ : c'est bien le signe de $\ln Q(X)\ge \ln 1=0$. Les arguments des logarithmes sont strictement positifs : aucune valeur absolue n'est nécessaire.

Ce que le correcteur attend : le signe. L'erreur la plus fréquente donne l'opposé, $-\ln (X^2+\sqrt{2}X+1)$, faute d'avoir tenu compte à la fois de $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}s$ et de l'ordre des bornes.