Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques C PT — Partie II (II.1.a à II.2.c) : Système différentiel résolu par séries entières : cos(x^2), sin(x^2) ; série numérique par primitivation terme à terme

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$C$ et $S$ sont deux fonctions réelles paires sur un intervalle $] - R, R [$ ( $R > 0$ ou $R = + \infty$ ), vérifiant $C^{'} (x) = - 2 x S (x)$ $(E_{1})$ , $S^{'} (x) = 2 x C (x)$ $(E_{2})$ , $C (0) = 1$ et $S (0) = 0$ . On cherche $C (x) = \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}$ et $S (x) = \sum_{n \geq 0} b_{n} x^{n}$ sur $] - R, R [$ .

II.1.a. Montrer que $(n + 1) a_{n + 1} = - 2 b_{n - 1}$ et $(n + 1) b_{n + 1} = 2 a_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ .
II.1.b. En déduire $a_{n} = - \frac{4}{n ( n - 2 )} a_{n - 4}$ pour $n \geq 4$ .
II.1.c. Que dit la parité de $C$ et $S$ sur leurs coefficients ?
II.1.d.i. Montrer que tout $n \in N$ s'écrit $4 p$ , $4 p + 1$ , $4 p + 2$ ou $4 p + 3$ avec $p \in N$ .
II.1.d.ii. Montrer que $a_{n} = 0$ si $n$ n'est pas multiple de $4$ .
II.1.e. Montrer que $a_{4 p} = \frac{( - 1 ) ^{p}}{( 2 p )!}$ pour tout $p \in N$ .
II.1.f. Déterminer le rayon $R$ de $\sum a_{n} x^{n}$ , puis exprimer simplement $C (x)$ et $S (x)$ .
II.2.a. Donner le rayon $R^{'}$ de $\sum (- 1)^{n} x^{4 n}$ et sa somme $D (x)$ .
II.2.b. Exprimer $\int_{0}^{1/ 2} \frac{d x}{1 + x ^{4}}$ comme somme d'une série numérique.
II.2.c. Calculer $\frac{1}{2} \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{( - 1 ) ^{n}}{4 ^{n} ( 4 n + 1 )}$ .

Corrigé

II.1.a. Par hypothèse, les séries entières $\sum a_{n} x^{n}$ et $\sum b_{n} x^{n}$ convergent en tout point de $] - R, R [$ : leurs rayons sont au moins égaux à $R$ , et $] - R, R [$ est inclus dans leurs intervalles ouverts de convergence. Par le théorème de dérivation terme à terme (la série dérivée a le même rayon), pour tout $x \in] - R, R [$ ,

$C^{'} (x) = n = 1 \sum + \infty n a_{n} x^{n - 1} = n = 0 \sum + \infty (n + 1) a_{n + 1} x^{n} (changement d’indice n \leftarrow n - 1) .$

Par ailleurs, en décalant l'indice ( $n \leftarrow n + 1$ ),

$- 2 x S (x) = n = 0 \sum + \infty (- 2 b_{n}) x^{n + 1} = n = 1 \sum + \infty (- 2 b_{n - 1}) x^{n} .$

L'équation $(E_{1})$ dit que la série entière de coefficients $c_{0} = a_{1}$ et $c_{n} = (n + 1) a_{n + 1} + 2 b_{n - 1}$ ( $n \geq 1$ ) a pour somme la fonction nulle sur $] - R, R [$ . Par le théorème d'unicité du développement en série entière, tous ses coefficients sont nuls :

$a_{1} = 0 et \forall n \geq 1, (n + 1) a_{n + 1} = - 2 b_{n - 1} .$

De même, $S^{'} (x) = \sum_{n \geq 0} (n + 1) b_{n + 1} x^{n}$ et $2 x C (x) = \sum_{n \geq 1} 2 a_{n - 1} x^{n}$ , et $(E_{2})$ donne

$b_{1} = 0 et \forall n \geq 1, (n + 1) b_{n + 1} = 2 a_{n - 1} .$

Enfin les conditions initiales donnent $a_{0} = C (0) = 1$ et $b_{0} = S (0) = 0$ .

Ce que le correcteur attend : la dérivation terme à terme citée sur l'intervalle ouvert de convergence, des changements d'indice (et non de variable) qui ne font apparaître aucun $b_{- 1}$ , l'unicité du développement nommée, et les valeurs de $n$ pour lesquelles chaque relation vaut.

II.1.b. Soit $n \geq 4$ . La première relation de II.1.a, écrite au rang $n - 1 \geq 1$ , donne $n a_{n} = - 2 b_{n - 2}$ . La seconde, écrite au rang $n - 3 \geq 1$ , donne $(n - 2) b_{n - 2} = 2 a_{n - 4}$ , d'où $b_{n - 2} = \frac{2}{n - 2} a_{n - 4}$ puisque $n - 2 \geq 2 \neq = 0$ . En reportant, et comme $n \neq = 0$ ,

$a_{n} = - \frac{2}{n} b_{n - 2} = - \frac{2}{n} \cdot \frac{2}{n - 2} a_{n - 4} = - \frac{4}{n ( n - 2 )} a_{n - 4} .$

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