Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques C PT — Partie III (III.1 à III.6.f) : Intégrales de Fresnel par une intégrale à paramètre complexe dérivée sous le signe intégrale

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Mathématiques C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $X > 0$ , $I (X) = \int_{1}^{X} cos (t^{2}) d t$ et $J (X) = \int_{1}^{X} sin (t^{2}) d t$ . On admet $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t = \frac{π}{2}$ . On pose $f (x) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e ^{- (t^{2} + i) x^{2}}}{t ^{2} + i} d t$ .

III.1. Montrer la convergence de $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ .
III.2. Étudier la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{s i n ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t$ et de $\int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t$ .
III.3. Par une intégration par parties, montrer que $I (X)$ et $J (X)$ ont des limites finies en $+ \infty$ .
III.4. Montrer la convergence de $\int_{1}^{+ \infty} e^{i t^{2}} d t$ .
III.5. Développer $t \mapsto e^{i t^{2}}$ en série entière.
III.6.a. Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$ .
III.6.b. Montrer que $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2} x^{2}} d t = \frac{π}{2 x}$ pour $x > 0$ .
III.6.c. En déduire $lim_{x \to + \infty} f (x)$ .
III.6.d. Étudier la dérivabilité de $f$ sur $R_{+}^{⋆}$ (en travaillant sur $[ε, a]$ , $0 < ε \leq a$ ).
III.6.e. Montrer que $f^{'} (x) = - π e^{- i x^{2}}$ pour $x > 0$ .
III.6.f. En déduire, avec la Partie I, $\int_{0}^{+ \infty} e^{- i x^{2}} d x$ , puis $\int_{0}^{+ \infty} C (x) d x$ et $\int_{0}^{+ \infty} S (x) d x$ ( $C$ , $S$ de la Partie II).

Corrigé

III.1. La fonction $t \mapsto e^{- t^{2}}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ ; sur $[0, 1]$ il n'y a rien à justifier. Pour $t \geq 1$ , $t^{2} \geq t$ , donc $0 \leq e^{- t^{2}} \leq e^{- t}$ (croissance de $exp$ ). La fonction $t \mapsto e^{- t}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ (fonction de référence exponentielle, $\int_{1}^{+ \infty} e^{- t} d t = e^{- 1}$ ). Par le critère de comparaison pour les fonctions positives, $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$ converge. (Variante : $t^{2} e^{- t^{2}} \to 0$ par croissances comparées, donc $e^{- t^{2}} = o (1/ t^{2})$ en $+ \infty$ , et Riemann avec $2 > 1$ .)

Ce que le correcteur attend : la majoration $e^{- t^{2}} \leq e^{- t}$ n'est vraie que pour $t \geq 1$ ; et une majoration par $1$ ne permet pas de conclure sur un intervalle non borné.

III.2. Les fonctions $t \mapsto \frac{s i n ( t ^{2} )}{t ^{2}}$ et $t \mapsto \frac{c o s ( t ^{2} )}{t ^{2}}$ sont continues sur $[1, + \infty [$ et, pour $t \geq 1$ , leurs valeurs absolues vérifient

$\frac{sin ( t ^{2} )}{t ^{2}} \leq \frac{1}{t ^{2}}, \frac{cos ( t ^{2} )}{t ^{2}} \leq \frac{1}{t ^{2}} .$

Comme $t \mapsto \frac{1}{t ^{2}}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ (Riemann, $2 > 1$ ), le critère de comparaison montre que ces deux fonctions sont intégrables : les intégrales sont absolument convergentes, donc convergentes.

Ce que le correcteur attend : majorer la valeur absolue, pas l'intégrande (qui change de signe) ; et $\frac{s i n ( t ^{2} )}{t ^{2}} \sim \frac{1}{t ^{2}}$ est faux.

III.3. Soit $X > 1$ . Sur $[1, X]$ , on écrit $cos (t^{2}) = \frac{1}{2 t} \cdot 2 t cos (t^{2})$ et on intègre par parties avec $u (t) = \frac{1}{2 t}$ et $v (t) = sin (t^{2})$ , de classe $C^{1}$ sur le segment $[1, X]$ , avec $u^{'} (t) = - \frac{1}{2 t ^{2}}$ et $v^{'} (t) = 2 t cos (t^{2})$ :

$I (X) = \int_{1}^{X} u v^{'} = [\frac{sin ( t ^{2} )}{2 t}]_{1}^{X} - \int_{1}^{X} (- \frac{1}{2 t ^{2}}) sin (t^{2}) d t,$

$soit I (X) = \frac{sin ( X ^{2} )}{2 X} - \frac{sin 1}{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{X} \frac{sin ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t .$

Quand $X \to + \infty$ : $\frac{s i n ( X ^{2} )}{2 X} \leq \frac{1}{2 X} \to 0$ , et $\int_{1}^{X} \frac{s i n ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t$ a une limite finie d'après III.2. Donc $I (X)$ admet une limite finie :

$X \to + \infty lim I (X) = - \frac{sin 1}{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} \frac{sin ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t .$

De même avec $v (t) = - cos (t^{2})$ , $v^{'} (t) = 2 t sin (t^{2})$ , de sorte que $u^{'} (t) v (t) = \frac{c o s ( t ^{2} )}{2 t ^{2}}$ :

$J (X) = [- \frac{cos ( t ^{2} )}{2 t}]_{1}^{X} - \int_{1}^{X} \frac{cos ( t ^{2} )}{2 t ^{2}} d t = - \frac{cos ( X ^{2} )}{2 X} + \frac{cos 1}{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{X} \frac{cos ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t,$

et, pour les mêmes raisons, $lim_{X \to + \infty} J (X) = \frac{c o s 1}{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{+ \infty} \frac{c o s ( t ^{2} )}{t ^{2}} d t$ existe et est finie.

Ce que le correcteur attend : l'égalité d'intégration par parties écrite, sur un segment, puis le passage à la limite terme par terme. L'intégrabilité de $cos (t^{2})$ n'a pas lieu (sa valeur absolue n'est pas intégrable) : on obtient une intégrale convergente non absolument convergente.

III.4. Pour $X > 1$ , par linéarité de l'intégrale d'une fonction à valeurs complexes et formule d'Euler $e^{i t^{2}} = cos (t^{2}) + i sin (t^{2})$ ,

$\int_{1}^{X} e^{i t^{2}} d t = I (X) + i J (X),$

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