Corrigé Banque PT 2025 Mathématiques C PT — Préambule (P.1 à P.3) : Convergence de deux intégrales de fractions rationnelles, théorème de changement de variable, x = 1/t

P.1. Posons $u(t)=\frac{1}{t^4+1}$ et $v(t)=\frac{t^2}{t^4+1}$. Ce sont des fonctions rationnelles dont le dénominateur $t^4+1\ge 1$ ne s'annule pas : elles sont continues et positives sur $[0,+\infty [$. Sur le segment $[0,1]$, leurs intégrales sont des intégrales de fonctions continues sur un segment : il n'y a de problème qu'en $+\infty$. Quand $t\to +\infty$,

$$u(t)=\frac{1}{t^4}\cdot \frac{1}{1+t^{-4}}\sim \frac{1}{t^4},v(t)=\frac{t^2}{t^4}\cdot \frac{1}{1+t^{-4}}\sim \frac{1}{t^2}.$$

Les fonctions $t\mapsto \frac{1}{t^4}$ et $t\mapsto \frac{1}{t^2}$ sont intégrables sur $[1,+\infty [$ (intégrales de Riemann en $+\infty$, exposants $4>1$ et $2>1$). Par le critère de comparaison par équivalent pour des fonctions positives, $u$ et $v$ sont intégrables sur $[1,+\infty [$, donc sur $[0,+\infty [$ :

$${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^4+1}\text{et}{\int }_0^{+\infty }\frac{t^2}{t^4+1}\mathrm{d}t\text{convergent.}$$

On peut aussi majorer directement : pour $t\ge 1$, $0\le u(t)\le \frac{1}{t^4}$ et $0\le v(t)\le \frac{t^2}{t^4}=\frac{1}{t^2}$, puis appliquer le critère de majoration pour les fonctions positives.