Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie I.1 et I.2 (Q1 à Q6) : Couple statique de l'axe A et dimensionnement du frein monodisque

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Un robot très forte charge de la cellule GEMINI (VLM robotics) est modélisé dans un plan vertical (figure 4) : embase 0 (repère $R_{0} = (A, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ galiléen), épaule 1, bras 2, poignet 3, unité opérative 4 (masse ponctuelle $m_{4}$ en $D$ , encastrée sur 3). Pivots parfaits d'axes $(A, z_{0})$ , $(B, z_{1})$ , $(C, z_{2})$ ; $θ_{1} = (x_{0}, x_{1})$ , $θ_{2} = (x_{1}, x_{2})$ , $θ_{3} = (x_{2}, x_{3})$ ; $A B = a x_{1}$ , $B C = b x_{2}$ , $C D = c x_{3}$ , centres d'inertie au milieu de chaque segment. $a = 1500 mm$ , $b = 1000 mm$ , $c = 500 mm$ , $m_{1} = 600 kg$ , $m_{2} = 300 kg$ , $m_{3} = 100 kg$ , $m_{4} = 300 kg$ , $g = - g y_{0}$ , $g = 9, 81 m \cdot s^{- 2}$ . On note $C_{A}^{stat} = M (A, m_{A} \to 1) \cdot z_{1}$ le couple du servomoteur $m_{A}$ maintenant le robot immobile.

Figure 4 — Modélisation cinématique plane simplifiée du robot.

Q1. Montrer que $C_{A}^{stat} = g (α cos θ_{1} + β cos (θ_{1} + θ_{2}) + γ cos (θ_{1} + θ_{2} + θ_{3}))$ , $α, β, γ > 0$ à exprimer.
Q2. Exprimer et calculer $C_{A, m a x}^{stat} = max ∣ C_{A}^{stat} ∣$ .

Le servomoteur $m_{A}$ comprend un moteur, un réducteur de rapport $κ$ (vitesse de sortie / vitesse du moteur) et un frein monodisque placé sur l'arbre moteur (figure 6) : $n$ ressorts de compression (effort $F_{r}$ chacun, sur un cercle de diamètre $D$ ) serrent le disque entre deux jeux de garnitures en couronne ( $R_{i}$ , $R_{e}$ ) ; frottement de Coulomb $μ$ , pression de contact $p$ uniforme. Le frein est débloqué électromagnétiquement en rotation.

Figure 6 — Frein monodisque (schéma) et paramétrage d'une garniture.

Q3. Exprimer la pression $p$ en fonction de $n$ , $F_{r}$ et des dimensions.
Q4. Exprimer le couple de freinage $C_{f}$ transmissible.

Données : $R_{e} = 150 mm$ , $R_{i} = 50 mm$ , $D = 400 mm$ , $μ = 0, 4$ , $κ = 1/20$ , $C_{A, m a x}^{stat} = 20 \times 1 0^{3} N \cdot m$ (imposée), ressorts de $F_{r} = 1000 N$ au plus pour un diamètre $d_{r} = 20 mm$ ; $(15 0^{3} - 5 0^{3}) / (15 0^{2} - 5 0^{2}) \approx 162$ .

Q5. Calculer le nombre $n$ de ressorts ; faisabilité vis-à-vis de l'encombrement ?
Q6. Avantage d'un frein sur l'arbre moteur plutôt qu'en sortie du réducteur ? Difficulté induite ?

Corrigé

Q1. On isole l'ensemble $E = {1, 2, 3, 4}$ , immobile dans $R_{0}$ galiléen. Actions extérieures : liaison pivot parfaite 0--1 d'axe $(A, z_{0})$ (moment nul sur $z_{0}$ ), couple du servomoteur $m_{A}$ (dont le stator est lié à 0), pesanteur sur 1, 2, 3, 4. Le principe fondamental de la statique, équation de moment en $A$ projetée sur $z_{0}$ , élimine les inconnues de la liaison :

$C_{A}^{stat} + i = 1 \sum 4 (A G_{i} \land (- m_{i} g y_{0})) \cdot z_{0} = 0.$

Comme $(A G_{i} \land y_{0}) \cdot z_{0} = A G_{i} \cdot (y_{0} \land z_{0}) = A G_{i} \cdot x_{0} = x_{G_{i}}$ , il vient $C_{A}^{stat} = g \sum_{i} m_{i} x_{G_{i}}$ , avec

$x_{G_{1}} = \frac{a}{2} cos θ_{1}, x_{G_{2}} = a cos θ_{1} + \frac{b}{2} cos (θ_{1} + θ_{2}),$

$x_{G_{3}} = a cos θ_{1} + b cos (θ_{1} + θ_{2}) + \frac{c}{2} cos (θ_{1} + θ_{2} + θ_{3}),$

et $x_{G_{4}} = x_{D} = a cos θ_{1} + b cos (θ_{1} + θ_{2}) + c cos (θ_{1} + θ_{2} + θ_{3})$ . En regroupant :

$α = a (\frac{m _{1}}{2} + m_{2} + m_{3} + m_{4}), β = b (\frac{m _{2}}{2} + m_{3} + m_{4}), γ = c (\frac{m _{3}}{2} + m_{4})$

Numériquement $α = 1, 5 \times 1000 = 1500 kg \cdot m$ , $β = 1, 0 \times 550 = 550 kg \cdot m$ , $γ = 0, 5 \times 350 = 175 kg \cdot m$ . Chaque masse compte par son bras de levier horizontal $x_{G_{i}}$ : le moteur compense le moment du poids.

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