Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie I.3 (Q7 à Q10) : Couple de l'axe A en dynamique : opérateurs d'inertie et moment dynamique

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Notations et données de la partie I.2 (figure 4). Le bras reste tendu : $θ_{2} = θ_{3} = 0$ , seul $θ_{1}$ varie, avec $θ ˙_{1, m a x} = 10 0^{\circ} \cdot s^{- 1}$ et $θ ¨_{1, m a x} = 18 0^{\circ} \cdot s^{- 2}$ . On note $C_{A}^{dyn} = M (A, m_{A} \to 1) \cdot z_{1}$ et $E = {1, 2, 3, 4}$ .

Q7. Exprimer $C_{A}^{dyn}$ en fonction de $C_{A}^{stat}$ et de $δ (A, E /0)$ .

Modèle simplifié : l'ensemble $B = {1, 2, 3}$ est un parallélépipède homogène ( $ρ = 8000 kg \cdot m^{- 3}$ , longueur $L = a + b + c = 3000 mm$ , hauteur $h = 300 mm$ , épaisseur $e = 200 mm$ ), dont la face d'extrémité est centrée sur $A$ (figure 7) ; 4 est une masse ponctuelle $m_{4} = 300 kg$ en $D$ . On admet $δ (A, E /0) = δ (A, B /0) + δ (A, 4/0)$ .

Figure 7 — Bras assimilé à un parallélépipède (sans l'unité opérative) : section et vue de face.

Q8. Justifier que $I (A, B) = I_{x} 00 0 I_{y} 0 00 I_{z}_{(x_{1}, y_{1}, z_{1})}$ . Exprimer $I (A, 4)$ dans la même base et le terme non nul $J$ qui y apparaît deux fois.
Q9. Exprimer $σ (A, E /0)$ puis $δ (A, E /0)$ , et en déduire $C_{A}^{dyn}$ en fonction de $C_{A}^{stat}$ et des paramètres d'inertie et de géométrie.

On rappelle $C_{A, m a x}^{stat} = 20 \times 1 0^{3} N \cdot m$ ; on donne $I_{z} = 1440 kg \cdot m^{2}$ .

Q10. Calculer $J$ , puis $C_{A, m a x}^{dyn}$ ; commenter par rapport à $C_{A, m a x}^{stat}$ , qui a servi à dimensionner le frein.

Corrigé

Q7. On isole $E$ dans son mouvement par rapport à $R_{0}$ galiléen. Actions extérieures : pivot parfait 0--1 d'axe $(A, z_{0})$ (moment nul sur $z_{0}$ ), couple $C_{A}^{dyn} z_{1}$ du servomoteur, pesanteur. Le théorème du moment dynamique en $A$ , projeté sur $z_{0} = z_{1}$ , s'écrit

$δ (A, E /0) \cdot z_{0} = C_{A}^{dyn} + M (A, pes \to E) \cdot z_{0} .$

En statique (Q1), le même bilan donnait $0 = C_{A}^{stat} + M (A, pes \to E) \cdot z_{0}$ pour la même position. D'où

$C_{A}^{dyn} = C_{A}^{stat} + δ (A, E /0) \cdot z_{0}$

le couple moteur porte le poids et met en mouvement les inerties.

Q8. Le parallélépipède est homogène et le point $A$ est au centre de sa face d'extrémité (figure 7) : les plans $(A, x_{1}, y_{1})$ et $(A, x_{1}, z_{1})$ sont des plans de symétrie matérielle. Le premier annule les produits d'inertie contenant $z$ ( $\int x z d m = \int y z d m = 0$ ), le second ceux contenant $y$ ( $\int x y d m = 0$ ) : la matrice est diagonale dans $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , base principale d'inertie en $A$ .

Pour la masse ponctuelle $m_{4}$ en $D$ , $A D = L x_{1}$ (coordonnées $(L, 0, 0)$ ) : $I_{xx} = m_{4} (y^{2} + z^{2}) = 0$ , $I_{y y} = m_{4} (x^{2} + z^{2}) = m_{4} L^{2}$ , $I_{z z} = m_{4} (x^{2} + y^{2}) = m_{4} L^{2}$ , produits d'inertie nuls :

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