Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie I.4 et I.5 (Q11 à Q16) : Équation du mouvement du poignet par le théorème de l'énergie cinétique, résolution par Euler

Notations de la partie I.2 (figure 4). Configuration ${\theta }_1={\theta }_2=0$ fixe : seul l'ensemble $U=\{3,4\}$ (poignet et unité opérative) tourne, d'angle ${\theta }_3$, autour de $(C,\overrightarrow{z_0})$ par rapport au bras 2. Le servomoteur $m_C$ exerce sur 3 le couple $C_C^{\mathrm{dyn}}=\overrightarrow{M}(C,m_C\to 3)\cdot \overrightarrow{z_3}$. On applique le théorème de l'énergie cinétique à $U$ dans ${\mathcal{R}}_0$ galiléen.

Q11. Que vaut $\mathcal{P}(U\leftrightarrow U)$ ? Déterminer $\mathcal{P}(\bar{U}\to U/0)$.
Q12. En négligeant l'inertie de rotation de 3 autour de $(C,\overrightarrow{z_0})$ devant celle de 4 (point matériel en $D$), exprimer $T(U/0)$.
Q13. Énoncer le théorème de l'énergie cinétique et en déduire une équation du mouvement liant ${\theta }_3$ et l'action du servomoteur.

On admet l'équation ${\ddot{\theta }}_3+{\omega }_c^2\cos {\theta }_3=k_{c}C(t)$, avec $C(t)=C_C^{\mathrm{dyn}}(t)$ donné par la figure 8 ($t_0$, $t_1$, $t_2$, $t_f$, $C_{\max }$ connus), et ${\theta }_3(0)=0$, ${\dot{\theta }}_3(0)=0$.

Figure 8 — Évolution du couple $C(t)$.

On résout par la méthode d'Euler explicite avec $Y=[{\theta }_3,{\dot{\theta }}_3{]}^T$, soit $\dot{Y}(t)=F(Y(t),t)$ avec $F(Y,t)=[{\dot{\theta }}_3,k_{c}C(t)-{\omega }_c^2\cos {\theta }_3{]}^T$.

Q14. Compléter la fonction C(t) (trois return à écrire, structure if/elif donnée, rampe montante fournie).
Q15. Compléter euler(F, Y0, T), qui renvoie le tableau Y dont la ligne $i$ est l'état à l'instant $t_i$ (ligne Y[i + 1] = ... à écrire).
Q16. Compléter F(Y, T) pour l'équation étudiée, avec Y, wc, kc et C.