Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie II (Q17 à Q23) : Défauts angulaires, réducteur épicycloïdal et flexion d'une dent

Exigence : précision en bout de bras $\pm \epsilon$, $\epsilon =0,1\mathrm{mm}$. Paramétrage de la figure 4 : $\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{x_1}$, $\overrightarrow{BC}=b\overrightarrow{x_2}$, $\overrightarrow{CD}=c\overrightarrow{x_3}$, $a=1500\mathrm{mm}$, $b=1000\mathrm{mm}$, $c=500\mathrm{mm}$. Position étudiée (figure 9) : ${\theta }_1=90^{\circ }$, ${\theta }_2=-90^{\circ }$, ${\theta }_3=-90^{\circ }$ ; chaque angle est entaché d'un défaut $\Delta {\theta }_i$.

Figure 9 — Robot dans la position étudiée.

Q17. Exprimer $x_D=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{x_0}$ pour ${\theta }_1$, ${\theta }_2$, ${\theta }_3$ quelconques, puis dans la position étudiée.
Q18. Exprimer $x_D+\Delta x_D$ avec les défauts, le particulariser, puis linéariser ($\Delta {\theta }_i\ll 1$) pour obtenir $\Delta x_D$.
Q19. Avec $\left|\Delta {\theta }_i\right|=\Delta \theta$ ($\Delta {\theta }_i={\xi }_i\Delta \theta$, ${\xi }_i=\pm 1$) et $\Delta x_D>0$, calculer le défaut maximal admissible $\Delta {\theta }_{\max }$ (radians, degrés).

Le réducteur de $m_A$ est épicycloïdal (figure 10, un seul satellite représenté) : planétaire $p$ (arbre moteur, pignon $Z_p=20$), porte-satellites $m$ (sortie), couronne 0 liée au bâti ($Z_0=200$), double satellite $s$ ($Z_s=30$ engrène avec 0 en $I$, plan A ; $Z_{s^{\prime }}=60$ engrène avec $p$ en $J$, plan B). Roulement sans glissement en $I$ et $J$, liaisons parfaites, régime permanent ; ${\omega }_{ij}$ vitesse de $i$ par rapport à $j$.

Figure 10 — Schéma cinématique du réducteur épicycloïdal du servomoteur d'axe $A$.

Q20. Calculer le rapport $\kappa ={\omega }_{m0}/{\omega }_{p0}$.

On prend ensuite $\Delta {\theta }_{\max }=5\times 10^{-5}\mathrm{rad}$ en sortie, $\left|C_A^{\mathrm{dyn}}\right|=30\times 10^3\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ et $\kappa =1/20$.

Q21. Exprimer et calculer le défaut angulaire admissible $\Delta {\theta }_{p,\max }$ sur $p$ et le couple maximal $C_{p,\max }$ qu'il transmet.

Engrenage $s$–$p$ : denture droite, module $m_0=5\mathrm{mm}$, angle de pression $20^{\circ }$, largeur $\ell =10\mathrm{mm}$, hauteur de dent $h=2,25m_0$, épaisseur au primitif $e=\pi m_0/2$. Cas le plus défavorable : charge au sommet d'une dent de $p$, modélisée en poutre encastrée (figure 11) de module d'Young $E=200\mathrm{GPa}$, section $e\times \ell$, soumise en bout à l'effort tranchant $\overrightarrow{T}=T\overrightarrow{y}$.

Figure 11 — Dent du pignon $p$ modélisée en poutre encastrée, et sa section droite ($\overrightarrow{x}$ sortant).

Q22. Exprimer puis calculer la flèche ${\delta }_p$ en bout de poutre.
Q23. En déduire le défaut angulaire $\Delta {\theta }_p$, le comparer à $\Delta {\theta }_{p,\max }$ et conclure.