Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie III.1 et III.2 (Q24 à Q30) : Bloqueur d'ordre 0 : fonction de transfert, diagramme de Bode, modèle de retard pur

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

On étudie la commande de la rotation du poignet 3 autour de $(C, z_{3})$ . Cahier des charges : erreurs statique (échelon) et de traînage (rampe) nulles, $T_{r 5%} \leq 0, 03 s$ , marge de phase $\geq 6 0^{\circ}$ , marge de gain $\geq 15 dB$ , pulsation de coupure à $0 dB$ de la FTBO $\geq 100 rad \cdot s^{- 1}$ . La boucle (figure 12) comprend une partie numérique (consigne $θ_{c}$ issue d'un modèle géométrique inverse, comparateur, correcteur, échantillonnage de la mesure à la période $T_{e}$ ) et une partie analogique (préactionneur, moteur à courant continu, réducteur $κ$ , codeur absolu) ; un bloqueur d'ordre 0 maintient la commande constante sur chaque période.

Figure 12 — Structure de la boucle d'asservissement du poignet.

Le bloqueur transforme la suite des échantillons $s^{*} (k T_{e})$ en signal en escalier $b (t) = \sum_{k \geq 0} s^{*} (k T_{e}) C_{r} (t - k T_{e})$ , où $C_{r}$ est le créneau unitaire de largeur $T_{e}$ (figure 14). Le signal échantillonné est modélisé par $s^{*} (t) = \sum_{k \geq 0} s_{k} T_{e} δ (t - t_{k})$ , $s_{k} = s (k T_{e})$ , $t_{k} = k T_{e}$ (produit de $s$ par un peigne de Dirac).

Figure 14 — Créneau unitaire initial.

Q24. Exprimer $C_{r} (t)$ puis $C_{r} (t - k T_{e})$ à l'aide de l'échelon unitaire $u (t)$ .
Q25. Déterminer $L (s^{*} (t))$ .
Q26. Avec $L (b) = L (\sum_{k} s_{k} C_{r} (t - t_{k})) = B_{0} (p) L (s^{*})$ , montrer que $B_{0} (p) = \frac{1}{a _{b} p} (1 - b_{b} e^{- T_{e} p})$ et donner $a_{b}$ et $b_{b}$ .
Q27. Pour $p = i ω$ , montrer avec les formules d'Euler que $B_{0} (p) = e^{- \frac{T _{e}}{2} p} sinc (\frac{T _{e}}{2} ∣ p ∣)$ , avec $sinc (x) = sin x / x$ .
Q28. En déduire $∣ B_{0} (i ω) ∣$ et $ar g B_{0} (i ω)$ .

La figure 17 trace $∣ B_{0} (i ω) ∣$ (abscisses linéaires) pour $f_{e} = 1 0^{5} Hz$ .

Figure 17 — Module du bloqueur d'ordre 0 ( $T_{e} = 1 0^{- 5} s$ ).

Q29. Tracer le diagramme de Bode (gain en dB, phase en degrés) de $B_{0}$ sur le document réponse ( $ω$ de $1$ à $1 0^{7} rad \cdot s^{- 1}$ , échelle logarithmique).
Q30. Sur quelle plage de fréquence peut-on remplacer le bloqueur par un retard pur $T_{e} /2$ ? Au regard du critère du revers, quelle condition sur $f_{e}$ cela impose-t-il ?

Corrigé

Q24. Le créneau vaut $1$ entre $0$ et $T_{e}$ : c'est un échelon en $0$ auquel on retranche un échelon retardé de $T_{e}$ :

$C_{r} (t) = u (t) - u (t - T_{e}), C_{r} (t - k T_{e}) = u (t - k T_{e}) - u (t - (k + 1) T_{e})$

Q25. La transformée de Laplace est linéaire, $L (δ (t)) = 1$ et, par le théorème du retard, $L (δ (t - t_{k})) = e^{- t_{k} p}$ :

$L (s^{*} (t)) = T_{e} k = 0 \sum + \infty s_{k} e^{- k T_{e} p}$

Q26. Avec $L (u (t)) = 1/ p$ et le théorème du retard, $L (C_{r} (t - k T_{e})) = \frac{e ^{- k T_{e} p} - e ^{- (k + 1) T_{e} p}}{p} = \frac{1 - e ^{- T_{e} p}}{p} e^{- k T_{e} p}$ . Donc

$L (b) = \frac{1 - e ^{- T_{e} p}}{p} k = 0 \sum + \infty s_{k} e^{- k T_{e} p} = \frac{1 - e ^{- T_{e} p}}{T _{e} p} L (s^{*} (t)),$

$B_{0} (p) = \frac{1 - e ^{- T_{e} p}}{T _{e} p}, a_{b} = T_{e}, b_{b} = 1$

Vérification : $B_{0} (p) \to 1$ quand $p \to 0$ (gain statique unité : un signal constant traverse le bloqueur sans changement), le facteur $T_{e}$ de $s^{*}$ compensant le $1/ T_{e}$ .

Q27. On met en facteur $e^{- T_{e} p /2}$ : $1 - e^{- T_{e} p} = e^{- T_{e} p /2} (e^{T_{e} p /2} - e^{- T_{e} p /2})$ . Pour $p = i ω$ ( $ω > 0$ , donc $∣ p ∣ = ω$ ), la formule d'Euler $e^{i x} - e^{- i x} = 2 i sin x$ donne

$B_{0} (i ω) = e^{- i ω T_{e} /2} \frac{2 i sin ( ω T _{e} /2 )}{i ω T _{e}} = e^{- i ω T_{e} /2} \frac{sin ( ω T _{e} /2 )}{ω T _{e} /2},$

$B_{0} (p) = e^{- \frac{T _{e}}{2} p} sinc (\frac{T _{e}}{2} ∣ p ∣)$

Le bloqueur est un retard pur de $T_{e} /2$ (le « centre » de chaque marche) multiplié par un filtre réel, le sinus cardinal.

Q28. $e^{- i ω T_{e} /2} = 1$ et le sinus cardinal est réel :

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