Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie III.3 et III.4 (Q31 à Q36) : Résolution du codeur absolu et choix du hacheur

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Codeur absolu.

Précision annoncée en bout de robot : $0, 1 mm$ ; un dixième de cette erreur est attribué au codeur absolu du poignet.

Q31. Pour $250 mm$ entre l'axe du poignet et le bout de l'outil, quel écart angulaire (rad) correspond à $0, 01 mm$ en bout d'outil ?
Q32. Nombre minimal de pistes du disque pour qu'un secteur angulaire soit inférieur à cet écart ?
Q33. Le code du disque ne doit changer que d'un bit entre deux secteurs voisins : raison technologique (5 lignes au plus) ?

Préactionneur.

Le moteur à courant continu doit tourner dans les deux sens (débattement de l'outil $32 0^{\circ}$ ) ; on ne cherche pas à récupérer l'énergie au freinage. Interrupteurs commandés (MOSFET de puissance $K_{m o f}$ ) et diodes parfaits, découpage très rapide devant la constante de temps électrique.

Figure 18 — Hacheur simple série (interrupteur $K_{m o f}$ , diode de roue libre $D_{1}$ ).

Q34. $U_{a l im} > 0$ . Indiquer (deux couleurs) les mailles parcourues par le courant, transistor passant puis bloqué. Ce hacheur autorise-t-il les deux sens de courant dans le moteur ? Dans quel(s) quadrant(s) du plan (vitesse $Ω$ , couple $C$ ) le moteur fonctionne-t-il ? Ce hacheur convient-il ?

Hacheur réversible en tension (figure 19) : sur une période $T$ , les deux $K_{m o f}$ sont passants sur $[0, α T [$ et bloqués sur $[α T, T [$ ( $0 \leq α \leq 1$ ). Le moteur est modélisé par $R$ , $L$ et la force contre-électromotrice $e_{b}$ .

Figure 19 — Hacheur réversible en tension (deux $K_{m o f}$ commandés ensemble, deux diodes $D_{1}$ ).

Q35. Tracer $u_{m} (t)$ sur une période, exprimer sa valeur moyenne $⟨ u_{m} ⟩$ en fonction de $U_{a l im}$ et $α$ , donner sa plage de variation ; est-elle compatible avec les deux sens de rotation ?
Q36. Quadrant(s) de fonctionnement du moteur avec ce hacheur ? Conclure.

Corrigé

Q31. Pour un petit angle, l'arc en bout d'outil vaut $L Δ θ$ , avec $L = 250 mm$ :

$Δ θ_{c} = \frac{0 , 01}{250} = 4 \times 1 0^{- 5} rad$

Q32. Un codeur absolu à $n$ pistes code $2^{n}$ secteurs sur le tour : résolution $q = 2 π / 2^{n}$ . Il faut $2 π / 2^{n} \leq 4 \times 1 0^{- 5}$ , soit $2^{n} \geq 2 π / (4 \times 1 0^{- 5}) \approx 1, 57 \times 1 0^{5}$ . Or $2^{17} = 131072$ et $2^{18} = 262144$ :

$n = 18 pistes, q = \frac{2 π}{2 ^{18}} \approx 2, 4 \times 1 0^{- 5} rad$

(rapporter les secteurs au seul débattement de $32 0^{\circ}$ ne change pas le résultat : il faudrait encore $2^{n} \geq 1, 4 \times 1 0^{5}$ ). On retrouve la règle $q = 36 0^{\circ} / 2^{n}$ du codeur absolu monotour.

Q33. Les $n$ capteurs optiques lisent les $n$ pistes simultanément, mais les transitions des pistes ne sont jamais parfaitement alignées sur un même rayon (tolérances de gravure, de montage, temps de commutation différents). En binaire naturel, le passage d'un secteur au voisin peut changer plusieurs bits à la fois (de $0111$ à $1000$ , tous les bits) : lu pendant la transition, le mot peut prendre une valeur quelconque ( $1111$ , $0000$ …), c'est-à-dire une position fausse très éloignée de la position réelle, que l'asservissement prendrait pour un saut brutal. Avec un code à un seul bit changeant (code de Gray), une lecture pendant la transition donne toujours l'un des deux secteurs voisins : l'erreur reste inférieure à un pas.

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