Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie III.5 (Q37 à Q42) : Identification du moteur et filtre numérique du second ordre

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Le bras 2 est en réalité formé de deux parties 2' et 2'' liées par une pivot d'axe $(B, x_{2})$ ; l'essai d'identification de la chaîne du poignet se fait dans la configuration de la figure 20, où l'axe de la pivot du poignet est vertical (parallèle à $y_{0}$ ).

Figure 20 — Configuration du robot pour l'essai d'identification.

Q37. Pourquoi faut-il placer l'axe de la pivot du poignet verticalement pour cet essai ?

Essai (figure 21) : moteur alimenté sous $24 V$ constants, entraînant réducteur et outil ; une génératrice tachymétrique mesure $ω_{m}$ , sa tension est numérisée (CAN) et stockée dans deux tableaux numpy t et wm (pas constant $T_{e} = t_{i} - t_{i - 1}$ ). La mesure est très bruitée (figure 22).

Figure 21 — Schéma fonctionnel de l'essai en chaîne ouverte.

Figure 22 — Vitesse du moteur mesurée (bruitée).

On filtre par $H_{f} (p) = \frac{1}{1 + \frac{2 ξ _{f}}{O _{m f}} p + \frac{p ^{2}}{O _{m f}^{2}}}$ , avec la dérivée approchée par la différence arrière $\frac{d w _{m}}{d t} (t_{i}) \approx \frac{w _{m_{i}} - w _{m_{i - 1}}}{T _{e}}$ .

Q38. D'après l'allure du gain de Bode d'un second ordre, pourquoi prendre $ξ_{f}$ proche de $0, 7$ ?
Q39. Équation différentielle associée à $W_{m f} (p) = H_{f} (p) W_{m} (p)$ .
Q40. En déduire le schéma $w_{m f_{i}} = a_{0} w_{m_{i}} + b_{0} w_{m f_{i - 1}} + b_{1} w_{m f_{i - 2}}$ et exprimer $a_{0}$ , $b_{0}$ , $b_{1}$ en fonction de $O_{m f}$ , $ξ_{f}$ , $T_{e}$ .
Q41. D'après la figure 22, proposer une valeur de $O_{m f}$ .

Figure 23 — Vitesse filtrée (trait noir) superposée à la mesure.

Q42. Justifier un modèle du premier ordre $H_{m} (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ (de $U_{m}$ à $ω_{m}$ ) et identifier $K_{m}$ et $τ_{m}$ .

Corrigé

Q37. Avec l'axe de la pivot du poignet parallèle à $y_{0}$ , l'ensemble \{3, 4\} tourne dans un plan horizontal : le poids, parallèle à l'axe de rotation, a un moment nul sur cet axe, quelle que soit la position angulaire. Le moteur n'entraîne alors que l'inertie et les frottements : l'essai identifie la seule dynamique de la chaîne de transmission, et l'équation est linéaire (dans la configuration de la partie I, le couple de pesanteur $g c (m_{3} /2 + m_{4}) cos θ_{3}$ de Q13 rendrait l'équation non linéaire et ferait dépendre la réponse de la position, voire basculer l'outil). On peut aussi faire plusieurs tours sans butée gravitaire et atteindre un régime permanent de vitesse.

Q38. Le gain d'un second ordre présente une résonance (gain supérieur à $1$ autour de $O_{m f}$ ) dès que $ξ_{f} < \frac{2}{2} \approx 0, 707$ ; au-dessus, la courbe s'infléchit plus tôt et atténue déjà le signal utile sous la coupure. $ξ_{f} \approx 0, 7$ donne le gain le plus plat possible dans la bande passante, sans résonance (filtre de Butterworth : $∣ H_{f} ∣ = 1/ 1 + (ω / O_{m f})^{4}$ , $- 3 dB$ exactement en $O_{m f}$ , puis $- 40 dB/d e ˊ cade$ ) : le signal utile n'est ni amplifié ni déformé, le bruit au-delà de la coupure n'est pas amplifié, et la réponse indicielle du filtre est la plus rapide sans dépassement notable ( $t_{5%}$ minimal vers $ξ = 0, 69$ ).

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