Corrigé Banque PT 2025 Sciences industrielles A PT — Partie III.6 (Q43 à Q49) : Correcteur PI à compensation de pôle et avance de phase

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2025, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Modèle continu (bloqueur négligé dans un premier temps), figure 25 : adaptateur de consigne de gain pur $A_{c}$ , correcteur $C (p)$ , moteur $H_{m} (p) = \frac{K _{m}}{1 + τ _{m} p}$ , réducteur $κ$ , intégrateur $1/ p$ , codeur absolu de gain pur $C_{ab s} = 1 V \cdot ra d^{- 1}$ . On prend $κ = 1/20$ , $K_{m} = 15 rad \cdot s^{- 1} \cdot V^{- 1}$ , $τ_{m} = 0, 01 s$ . Cahier des charges (partie III) : erreurs nulles en échelon et en rampe, $T_{r 5%} \leq 0, 03 s$ , $M_{φ} \geq 6 0^{\circ}$ , $M_{G} \geq 15 dB$ , $ω_{0 d B} \geq 100 rad \cdot s^{- 1}$ .

Figure 25 — Schéma-blocs du modèle continu de l'asservissement du poignet.

Q43. Exprimer $A_{c}$ pour que l'écart $ε$ ait un sens.
Q44. Pourquoi faut-il un correcteur de classe 1 pour satisfaire les critères de précision ?

Correcteur PI $C (p) = K_{P I} \frac{1 + τ _{P I} p}{p}$ , $τ_{P I}$ choisi pour compenser le mode du moteur, $K_{P I} = 1 s^{- 1}$ d'abord.

Q45. Inconvénients éventuels d'une compensation de pôle ?
Q46. Donner la FTBO corrigée, tracer son diagramme de Bode (document réponse) pour $K_{P I} = 1$ . Stabilité ? Marges ?
Q47. Valeur de $K_{P I}$ donnant la pulsation $ω_{0 d B}$ minimale imposée.

On ajoute un correcteur à avance de phase $H_{a} (p) = K_{a} \frac{1 + τ _{a} p}{1 + a _{a} τ _{a} p}$ , $a_{a} < 1$ , dont la phase est maximale, $φ_{m}$ avec $sin φ_{m} = \frac{1 - a _{a}}{1 + a _{a}}$ , en $ω = \frac{1}{a _{a} τ _{a}}$ , où le gain vaut $20 lo g \frac{K _{a}}{a _{a}}$ (figure 26, tracée pour $a_{a} = 0, 1$ ).

Figure 26 — Diagramme de Bode d'un correcteur à avance de phase.

Q48. Phase à apporter en $ω_{0 d B}$ ; valeurs de $K_{a}$ , $a_{a}$ , $τ_{a}$ .
Q49. Le bloqueur est modélisé par un retard pur $T_{e} /2$ , avec $T_{e} = 1 0^{- 5} s$ : de combien de degrés diminue-t-il la marge de phase ? Conclure.

Corrigé

Q43. L'écart $ε = U_{c} - M$ doit être l'image de l'erreur $θ_{c} - θ$ : il doit s'annuler quand $θ = θ_{c}$ . Or $U_{c} = A_{c} θ_{c}$ et $M = C_{ab s} θ$ , donc $ε = A_{c} θ_{c} - C_{ab s} θ$ est proportionnel à $θ_{c} - θ$ si et seulement si

$A_{c} = C_{ab s} = 1 V \cdot ra d^{- 1}$

L'adaptateur convertit la consigne (en radians) dans la même unité et à la même échelle que la mesure (en volts).

Q44. Avec $A_{c} = C_{ab s}$ , $ε (p) = C_{ab s} \frac{θ _{c} ( p )}{1 + FTBO ( p )}$ , où, hors correcteur, $FTBO = C (p) \frac{K _{m} κ C _{ab s}}{p ( 1 + τ _{m} p )}$ contient déjà une intégration (passage de la vitesse à la position). Le théorème de la valeur finale (système supposé stable) donne, pour une FTBO de classe $α$ et de gain $K_{B O}$ :

échelon : erreur nulle dès que $α \geq 1$ ;
rampe $θ_{c} = ω_{0} / p^{2}$ : erreur $ω_{0} / K_{B O}$ (finie, non nulle) pour $α = 1$ , nulle pour $α \geq 2$ .

Un correcteur proportionnel laisse la FTBO de classe 1 : erreur de traînage non nulle. L'exigence « erreur de traînage nulle » impose une FTBO de classe 2, donc un intégrateur dans le correcteur (correcteur de classe 1), en plus de celui du procédé.

Q45. Avec $τ_{P I} = τ_{m}$ , le zéro du correcteur simplifie le pôle $- 1/ τ_{m}$ . Inconvénients :

$τ_{m}$ n'est connu qu'approximativement (identification, Q42) et varie (charge entraînée, inertie de l'outil, température, usure) : la compensation est imparfaite et laisse un doublet pôle-zéro proche, qui ajoute à la réponse une composante lente de faible amplitude ;
la simplification n'a lieu que dans la fonction de transfert consigne--sortie : le mode $e^{- t / τ_{m}}$ reste présent dans la réponse à une perturbation (couple résistant) entrant après le correcteur ;
on ne peut compenser qu'un pôle stable (compenser un pôle instable ou mal amorti est exclu).

Ici le pôle est stable et bien connu : la compensation reste un choix raisonnable.

Q46. Avec $τ_{P I} = τ_{m}$ :

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