Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques A PT — Partie A (A.1 à A.8) : Réduction des matrices (a b ; 1 1) : diagonalisabilité sur R et sur C, carte du plan (a, b)

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On note $M_{1} = (2161)$ , $M_{2} = (31 - 2 1)$ , $M_{3} = (51 - 4 1)$ et, pour $(a, b) \in R^{2}$ , $M (a, b) = (a 1 b 1)$ .

A.1. Rappeler la caractérisation des matrices trigonalisables par le polynôme caractéristique.
A.2. $M_{1}$ est-elle diagonalisable dans $M_{2} (C)$ ? dans $M_{2} (R)$ ? Si possible, écrire $M_{1} = P_{1} D_{1} P_{1}^{- 1}$ .
A.3. Même question pour $M_{2}$ (matrices $P_{2}$ , $D_{2}$ ).
A.4. (a) $M_{3}$ est-elle diagonalisable, trigonalisable dans $M_{2} (R)$ ? (b) Trouver une base de $R^{2}$ où l'endomorphisme $f_{3}$ canoniquement associé à $M_{3}$ a pour matrice $T_{3} = (3013)$ .
A.5. Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité de $M (a, b)$ .
A.6. Calculer le discriminant $Δ (a, b)$ du polynôme caractéristique de $M (a, b)$ .
A.7. (a) Si $Δ (a, b) = 0$ , montrer que $M (a, b)$ n'est pas diagonalisable dans $M_{2} (C)$ . (b) Si $Δ (a, b) \neq = 0$ , étudier la diagonalisabilité dans $M_{2} (R)$ et $M_{2} (C)$ .
A.8. Représenter dans le plan des $(a, b)$ les ensembles où $M (a, b)$ est non inversible, diagonalisable dans $M_{2} (R)$ , diagonalisable dans $M_{2} (C)$ mais pas dans $M_{2} (R)$ , non diagonalisable dans $M_{2} (C)$ , ainsi que les points associés à $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ .

Corrigé

On note $χ_{A} = det (X I_{2} - A)$ le polynôme caractéristique ; pour une matrice $A$ de taille $2$ , $χ_{A} = X^{2} - tr (A) X + det (A)$ . Pour une valeur propre $λ$ , on note $E_{λ} (A) = Ker (A - λ I_{2})$ le sous-espace propre et $m_{a} (λ)$ sa multiplicité comme racine de $χ_{A}$ .

A.1. Critère de trigonalisabilité. Soit $K = R$ ou $C$ et $A \in M_{n} (K)$ . La matrice $A$ est trigonalisable dans $M_{n} (K)$ si et seulement si son polynôme caractéristique $χ_{A}$ est scindé sur $K$ . En particulier toute matrice de $M_{n} (C)$ est trigonalisable dans $M_{n} (C)$ (théorème de d'Alembert-Gauss).

Ce que le correcteur attend : une équivalence (« si et seulement si »), c'est ce que signifie le mot « caractérisation ».

A.2. $tr (M_{1}) = 3$ et $det (M_{1}) = 2 - 6 = - 4$ , donc

$χ_{M_{1}} = X^{2} - 3 X - 4 = (X - 4) (X + 1) .$

$M_{1}$ possède deux valeurs propres réelles et distinctes, $4$ et $- 1$ ; une matrice de taille $2$ ayant $2$ valeurs propres distinctes dans $K$ est diagonalisable dans $M_{2} (K)$ (condition suffisante de diagonalisabilité). Donc $M_{1}$ est diagonalisable dans $M_{2} (R)$ , et donc aussi dans $M_{2} (C)$ (la même matrice $P_{1}$ réelle convient).

Sous-espaces propres. Pour $(x, y) \in R^{2}$ :

$(M_{1} - 4 I_{2}) (x y) = 0 ⟺ {- 2 x + 6 y = 0 x - 3 y = 0 ⟺ x = 3 y,$

$(M_{1} + I_{2}) (x y) = 0 ⟺ {3 x + 6 y = 0 x + 2 y = 0 ⟺ x = - 2 y .$

Donc $E_{4} (M_{1}) = Vect ((3, 1))$ et $E_{- 1} (M_{1}) = Vect ((- 2, 1))$ (vérification : $M_{1} (3, 1)^{⊤} = (12, 4)^{⊤}$ et $M_{1} (- 2, 1)^{⊤} = (2, - 1)^{⊤}$ ). Avec

$P_{1} = (31 - 2 1), D_{1} = (40 0 - 1),$

on a $det P_{1} = 3 + 2 = 5 \neq = 0$ , donc $P_{1}$ est inversible, et $M_{1} P_{1} = P_{1} D_{1}$ , c'est-à-dire $M_{1} = P_{1} D_{1} P_{1}^{- 1}$ .

A.3. $tr (M_{2}) = 4$ , $det (M_{2}) = 3 + 2 = 5$ , donc $χ_{M_{2}} = X^{2} - 4 X + 5$ , de discriminant $16 - 20 = - 4 < 0$ . Ses racines sont les deux complexes non réels et distincts $2 + i$ et $2 - i$ .

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