Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques A PT — Partie B (B.1.a à B.6) : Un couple de variables finies par le calcul matriciel : lois marginales, E(XY), covariance, P(X = Y)

B.1. (a) Pour $i\in \{1,2,3\}$, la $i$-ème coordonnée de $CU$ est

$$(CU{)}_i=\sum _{j=1}^3{c}_{i,j}\times 1=\sum _{j=1}^{3}P(X=x_i,Y=x_j).$$

Comme $Y(\Omega )=\{x_1,x_2,x_3\}$ avec $x_1,x_2,x_3$ distincts, les événements $(Y=x_1)$, $(Y=x_2)$, $(Y=x_3)$ sont deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ : ils forment un système complet d'événements. La formule des probabilités totales associée donne

$$P(X=x_i)=\sum _{j=1}^{3}P((X=x_i)\cap (Y=x_j))=(CU{)}_i.$$

Ainsi le vecteur $CU$ a pour coordonnées les $P(X=x_i)$, $i=1,2,3$. Ici

$$CU=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{c}1+1+2\\ 2+2+1\\ 1+1+1\end{array}\right)=\frac{1}{12}\left(\begin{array}{c}4\\ 5\\ 3\end{array}\right),$$

d'où

$$\boxed{P(X=-1)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3},P(X=0)=\frac{5}{12},P(X=1)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}.}$$

(Contrôle : $\frac{4+5+3}{12}=1$.)

Ce que le correcteur attend : la formule des probabilités totales, nommée, avec le système complet d'événements écrit explicitement.

(b) $X$ est finie, donc admet une espérance, et par définition $E(X)={\sum }_{i=1}^3{x}_{i}P(X=x_i)$. Or, d'après (a),

$$V^{\top }CU=\sum _{i=1}^3{x}_i(CU{)}_i=\sum _{i=1}^3{x}_{i}P(X=x_i)=E(X).$$

Numériquement $V^{\top }CU=\frac{1}{12}((-1)\times 4+0\times 5+1\times 3)=\boxed{E(X)=-\frac{1}{12}.}$