Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques A PT — Partie C — questions 1 à 5 (C.1.a à C.5) : Probabilité qu'une matrice aléatoire soit inversible : lois binomiale, géométrique, de Poisson

$A$ et $B$ sont deux variables aléatoires réelles et $M(A,B)=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ 1& 1\end{array}\right)$ (notations de la partie A).

C.1. Ici $A=X$ et $B=Y$ (partie B). (a) Probabilité que $M(A,B)$ soit inversible. (b) Probabilité que $M(A,B)$ ne soit diagonalisable ni dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ni dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{C})$.

Désormais $A$ et $B$ sont indépendantes.

C.2. Si $A$ et $B$ sont à valeurs dans une partie $H$ de $\mathbb{N}$, établir $P(A=B)={\sum }_{k\in H}P(A=k)P(B=k)$.
C.3. $A\sim \mathcal{B}(n,p)$ avec $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $p\in ]0,1[$, et $B\sim \mathcal{G}(r)$ avec $r\in ]0,1[$. (a) et (b) Rappeler $A(\Omega )$, $B(\Omega )$ et les lois. (c) Montrer que $M(A,B)$ est non inversible avec probabilité $\frac{r}{1-r}[(1-pr{)}^n-(1-p{)}^n]$.
C.4. $A\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $C=-B\sim \mathcal{P}(\mu )$, avec $\lambda ,\mu >0$. (a) Rappeler la loi de $A$. (b) Montrer que $A+C\sim \mathcal{P}(\lambda +\mu )$ (fonctions génératrices). (c) En déduire la probabilité que $M(A,B)$ soit inversible.

Désormais $A\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $B\sim \mathcal{P}(\mu )$, $\lambda ,\mu >0$.

C.5. Montrer que $M(A,B)$ est non inversible avec probabilité $I={\sum }_{k=0}^{+\infty }\frac{(\lambda \mu {)}^k}{(k!{)}^2}{\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}$.