Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques A PT — Partie C — questions 6 et 7 (C.6.a à C.7.f) : Valeur approchée de I : majoration du reste, programme Python, Bienaymé-Tchebychev

$A\sim \mathcal{P}(\lambda )$ et $B\sim \mathcal{P}(\mu )$ indépendantes, $\lambda ,\mu >0$, et $I={\sum }_{k=0}^{+\infty }\frac{(\lambda \mu {)}^k}{(k!{)}^2}{\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}=P(M(A,B)\text{ non inversible})$ (C.5).

C.6. Pour $n⩾0$, $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\infty }\frac{(\lambda \mu {)}^k}{(k!{)}^2}{\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}$. (a) Montrer que $|R_n|⩽\frac{1}{(n+1)!}{\mathrm{e}}^{\lambda \mu -(\lambda +\mu )}$. (b) Écrire en Python une fonction val_app(eps) renvoyant une somme partielle de $I$ qui approche $I$ à eps près ($\lambda$, $\mu$ dans les variables globales la, mu ; exp et factorial importées du module math). (c) Instruction affichant une valeur approchée de $I$ à $10^{-5}$ près.

C.7. On simule $N$ fois, de façon indépendante, le couple $(A,B)$ ; $J_i$ vaut $1$ si $M(A,B)$ est non inversible à la $i$-ème simulation, $0$ sinon ; $K_N={\sum }_{i=1}^N{J}_i$ et $\overline{K_N}=\frac{1}{N}{K}_N$. (a) Loi de $J_i$. (b) Loi de $K_N$ (justifier). (c) Espérance et variance de $\overline{K_N}$. (d) Montrer, par Bienaymé-Tchebychev, que $P(|\overline{K_N}-I|⩾\epsilon )⩽\frac{1}{4N{\epsilon }^2}$. (e) En déduire $P(I\in [\overline{K_N}-\epsilon ,\overline{K_N}+\epsilon ])⩾1-\frac{1}{4N{\epsilon }^2}$. (f) Pour $\lambda =1$, $\mu =2$, $N=100000$ simulations dont $21357$ non inversibles : que dit l'inégalité pour $\epsilon =10^{-2}$, puis $\epsilon =10^{-3}$ ?