Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques A PT — Partie D (D.1.a à D.2) : Indépendance et matrice de rang 1 de la loi conjointe

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $n \in N^{*}$ et $X$ , $Y$ deux variables aléatoires avec $X (Ω) = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ et $Y (Ω) = {y_{1}, \dots, y_{n}}$ (valeurs distinctes). On pose $Q = (q_{i, j}) \in M_{n} (R)$ , $q_{i, j} = P (X = x_{i}, Y = y_{j})$ .

D.1. On suppose $X$ et $Y$ indépendantes et $P (X = x_{i}) \neq = 0$ pour tout $i$ . (a) Justifier que $rg Q = 1$ . (b) Qu'en déduire sur les valeurs propres réelles de $Q$ et leurs multiplicités ? (c) Montrer que $Q$ est diagonalisable. (d) Pour $n = 4$ , donner un exemple (avec $X$ et $Y$ non constantes) où $Q$ n'est pas diagonalisable si l'on retire l'hypothèse $P (X = x_{i}) \neq = 0$ .
D.2. On suppose $rg Q = 1$ . Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes (on peut généraliser sans preuve des résultats de la partie B).

Corrigé

Notations : $U = (1, \dots, 1)^{⊤} \in R^{n}$ , $α = (α_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n}$ avec $α_{i} = P (X = x_{i})$ , $β = (β_{j})_{1 ⩽ j ⩽ n}$ avec $β_{j} = P (Y = y_{j})$ (vecteurs colonnes). Comme en B.1 et B.2 (formule des probabilités totales avec les systèmes complets $(Y = y_{j})_{j}$ et $(X = x_{i})_{i}$ ) :

$Q U = α, U^{⊤} Q = β^{⊤}, U^{⊤} Q U = i, j \sum q_{i, j} = i \sum α_{i} = 1.$

D.1. (a) Par indépendance, $q_{i, j} = α_{i} β_{j}$ pour tous $i, j$ , c'est-à-dire $Q = α β^{⊤}$ . La $j$ -ème colonne de $Q$ est $β_{j} α$ : toutes les colonnes sont colinéaires au vecteur $α$ , donc $Im Q \subset Vect (α)$ et $rg Q ⩽ 1$ . Par ailleurs $Q \neq = 0$ , puisque la somme de ses coefficients vaut $1$ . Donc $rg Q = 1.$

Ce que le correcteur attend : des colonnes (ou lignes) proportionnelles et l'exclusion de la matrice nulle.

(b) Supposons d'abord $n ⩾ 2$ . Par le théorème du rang, $dim Ker Q = n - rg Q = n - 1 ⩾ 1$ : $0$ est valeur propre, $dim E_{0} (Q) = n - 1$ , et par l'inégalité fondamentale des multiplicités $m_{a} (0) ⩾ n - 1$ . Ainsi $X^{n - 1}$ divise $χ_{Q}$ , polynôme unitaire de degré $n$ à coefficients réels : $χ_{Q} = X^{n - 1} (X - γ)$ avec $γ \in R$ . Le coefficient de $X^{n - 1}$ dans $χ_{Q}$ vaut $- tr Q$ et, dans $X^{n - 1} (X - γ)$ , il vaut $- γ$ ; donc

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