Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 1 — Partie A (Q1 à Q3) : Le sous-espace H de R3[X] (base, dimension), la forme linéaire P ↦ P'(0), f endomorphisme de H

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$R_{3} [X]$ est l'espace des polynômes réels de degré au plus $3$ ; $P^{(k)}$ désigne la dérivée $k$ -ième de $P$ . On pose $H = {P \in R_{3} [X]; 6 P (0) = P^{(3)} (0)}$ et, pour $P \in H$ ,

$f (P) = (X + X^{2}) P (0) - \frac{1}{2} (X^{3} + X^{2} - X + 1) P^{'} (0) - \frac{1}{4} (X^{3} - X^{2} + X + 1) P^{''} (0) .$

Q1. Montrer que $H$ est un espace vectoriel ; en donner une base et la dimension.
Q2. Montrer que $h : P \mapsto P^{'} (0)$ est linéaire sur $H$ ; dans quel espace prend-elle ses valeurs (le plus précisément possible) ?
Q3. On admet $f$ linéaire. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $H$ .

Corrigé

Q1. Soit $P = a + b X + c X^{2} + d X^{3} \in R_{3} [X]$ . On a $P (0) = a$ et $P^{(3)} = 6 d$ (polynôme constant), donc $P^{(3)} (0) = 6 d$ . Ainsi

$P \in H ⟺ 6 a = 6 d ⟺ a = d ⟺ P = a (1 + X^{3}) + b X + c X^{2} .$

Par conséquent

$H = {a (1 + X^{3}) + b X + c X^{2}; (a, b, c) \in R^{3}} = Vect (1 + X^{3}, X, X^{2}) .$

Un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de l'espace vectoriel $R_{3} [X]$ est un sous-espace vectoriel de $R_{3} [X]$ ; $H$ est donc un espace vectoriel (pour les lois de $R_{3} [X]$ ).

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