Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 1 — Partie B (Q4 à Q9) : Produit scalaire sur R3[X] par les dérivées en 0 : base orthonormée de H, projeté de 1, orthogonal de H

Q4. Un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_3[X]$ est une application

$$\phi :{\mathbb{R}}_3[X]\times {\mathbb{R}}_3[X]⟶\mathbb{R}$$

qui est bilinéaire (linéaire par rapport à chacune de ses deux variables), symétrique ($\phi (Q,P)=\phi (P,Q)$ pour tous $P,Q$), et définie positive : pour tout $P$, $\phi (P,P)\ge 0$, et $\phi (P,P)=0\Rightarrow P=0$.

Ce que le correcteur attend : l'ensemble de départ $({\mathbb{R}}_3[X]{)}^2$ et l'ensemble d'arrivée $\mathbb{R}$ — un produit scalaire est un nombre, pas un polynôme.

Q5. Il suffit de prouver la linéarité par rapport à la seconde variable. Soient $P,Q_1,Q_2\in {\mathbb{R}}_3[X]$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. En utilisant successivement la symétrie, la linéarité par rapport à la première variable, puis de nouveau la symétrie :

$$\phi (P,\lambda Q_1+Q_2)=\phi (\lambda Q_1+Q_2,P)=\lambda \phi (Q_1,P)+\phi (Q_2,P)=\lambda \phi (P,Q_1)+\phi (P,Q_2).$$

Donc $\phi$ est linéaire par rapport à sa seconde variable ; étant linéaire par rapport à la première par hypothèse, elle est bilinéaire.

Q6. Soit $P={\sum }_{k=0}^3{a}_k{X}^k\in {\mathbb{R}}_3[X]$ vérifiant les quatre conditions.