Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 1 — Partie C (Q10 à Q12) : Rotation d'axe j − k et d'angle −π/2 : base adaptée, matrice, puissances et retournement

Q10. On norme $\overrightarrow{u}$ : $\Vert \overrightarrow{u}\Vert =\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}$, et l'on pose

$$\overrightarrow{u}{}^{\prime }=\frac{\overrightarrow{u}}{\Vert \overrightarrow{u}\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{ȷ}-\overrightarrow{k}),$$

colinéaire à $\overrightarrow{u}$ et de même sens. Le vecteur $\overrightarrow{v}{}^{\prime }=\overrightarrow{ı}$ est unitaire et orthogonal à $\overrightarrow{u}{}^{\prime }$ (ses coordonnées $(1,0,0)$ et $(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})$ ont un produit scalaire nul). On complète par le produit vectoriel, ce qui rend la base orthonormée directe :

$$\overrightarrow{w}{}^{\prime }=\overrightarrow{u}{}^{\prime }\wedge \overrightarrow{v}{}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right)\wedge \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\cdot 0-(-1)\cdot 0\\ (-1)\cdot 1-0\cdot 0\\ 0\cdot 0-1\cdot 1\end{array}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{ȷ}+\overrightarrow{k}).$$

Ainsi ${\mathcal{B}}^{\prime }=(\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{ȷ}-\overrightarrow{k}),\overrightarrow{ı},-\frac{1}{\sqrt{2}}(\overrightarrow{ȷ}+\overrightarrow{k}))$ est orthonormée directe, de premier vecteur dirigeant et orientant l'axe. Dans une telle base, la matrice d'une rotation d'angle $\theta$ est la forme réduite

$$R^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -1& 0\end{array}\right)(\cos \theta =0,\sin \theta =-1).$$