Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 1 — Partie D (Q13 à Q14) : La matrice de f dans la base orthonormée de H est celle de la rotation : f est une rotation de H

Q13. D'après Q8, $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)=(\frac{1}{\sqrt{2}}(1+X^3),X^2,X)$. On calcule l'image de chaque vecteur par la formule de Q3, $f(a(1+X^3)+bX+c{X}^2)=a(X+X^2)-\frac{b}{2}(X^3+X^2-X+1)-\frac{c}{2}(X^3-X^2+X+1)$.

Image de $e_1$ ($a=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $b=c=0$) :

$$f(e_1)=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+X^2)=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_2+\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_3.$$

Image de $e_2=X^2$ ($a=b=0$, $c=1$) :

$$f(e_2)=-\frac{1}{2}(X^3-X^2+X+1)=-\frac{1}{2}(1+X^3)+\frac{1}{2}{X}^2-\frac{1}{2}X=-\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_1+\frac{1}{2}{e}_2-\frac{1}{2}{e}_3,$$

car $\frac{1}{2}(1+X^3)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1+X^3}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_1$.

Image de $e_3=X$ ($a=c=0$, $b=1$) :

$$f(e_3)=-\frac{1}{2}(X^3+X^2-X+1)=-\frac{1}{2}(1+X^3)-\frac{1}{2}{X}^2+\frac{1}{2}X=-\frac{1}{\sqrt{2}}{e}_1-\frac{1}{2}{e}_2+\frac{1}{2}{e}_3.$$

En rangeant ces coordonnées en colonnes :