Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie A (Q1 à Q3) : Questions de cours : ellipse, hyperbole, définition par foyer et directrice, rotation complexe

Le plan ${\mathbb{R}}^2$ est euclidien, muni d'un repère orthonormé direct $(O;{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$. La numérotation des questions repart de $1$ dans cet exercice.

Q1. Soient $a,b>0$. Donner la nature et le paramétrage usuel (a) de la conique d'équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ; (b) de chaque branche de la conique d'équation $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.
Q2. Soient $F$ un point, $\mathcal{D}$ une droite ne contenant pas $F$ et $\epsilon >0$. (a) Définir la conique de foyer $F$, de directrice $\mathcal{D}$ et d'excentricité $\epsilon$. (b) Quelle est sa nature ?
Q3. Si $M$ et $M^{\prime }$ ont pour affixes $z$ et $z^{\prime }={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }z$ ($\theta \in \mathbb{R}$), quelle transformation envoie $M$ sur $M^{\prime }$ ?