Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie B (Q4 à Q6) : Projection orthogonale sur une droite en complexes : une hyperbole de foyer O et d'excentricité 2

Plan euclidien rapporté au repère orthonormé direct $(O;{\overrightarrow{e}}_1,{\overrightarrow{e}}_2)$ ; un point $M(x,y)$ a pour affixe $z=x+\mathrm{i}y$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que

$$|z|=|z+\overline{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}-3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6}|.$$

Q4. Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $\sqrt{3}x+y=3$ et $M^{\prime }$ le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$. (a) Exprimer les coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ de $M^{\prime }$ en fonction de $(x,y)$. (b) En déduire que l'affixe de $M^{\prime }$ est $z^{\prime }=\frac{1}{2}(z-\overline{z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}+3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /6})$.
Q5. Exprimer $z-z^{\prime }$ en fonction de $z$ et $\overline{z}$.
Q6. En déduire que $\mathcal{C}$ est une conique ; en préciser la nature, un foyer, une directrice et l'excentricité.