Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie C (Q7 à Q9) : L'hyperbole tournée de −π/6 : équation réduite, centre, sommets, asymptotes, tangente, tracé

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie B : $C$ est défini par $∣ z ∣ = z + z e^{i π /3} - 3 e^{i π /6}$ et $D$ est la droite $3 x + y = 3$ . Soit $u$ un vecteur normal à $D$ d'abscisse positive.

Q7. Déterminer l'angle $α = (e_{1}, u)$ .
Q8. Soit $C^{'}$ l'ensemble des points $N$ d'affixe $Z$ tels que le point $M$ d'affixe $z = e^{i α} Z$ appartienne à $C$ . (a) Montrer que $N \in C^{'} ⟺ ∣ Z ∣ = ∣ Z + Z - 3∣$ . (b) En déduire l'équation $3 x^{2} - 12 x - y^{2} + 9 = 0$ de $C^{'}$ . (c) Donner le centre, les sommets et les asymptotes de $C^{'}$ (s'il y a lieu). (d) Donner une équation de la tangente $T$ à $C^{'}$ en $G (0, 3)$ .
Q9. (a) Tracer $C^{'}$ et les éléments de Q8(c). (b) Quelle transformation donne $C$ à partir de $C^{'}$ ?

Corrigé

Q7. La droite $D : 3 x + y = 3$ a pour vecteurs normaux les multiples non nuls de $(3, 1)$ ; on prend $u = (3, 1)$ , d'abscisse $3 > 0$ , de norme $2$ . L'angle orienté $α = (e_{1}, u)$ vérifie

$cos α = \frac{3}{2}, sin α = \frac{1}{2}$

(coordonnées de $\frac{u}{∥ u ∥}$ dans la base orthonormée directe $(e_{1}, e_{2})$ ). Donc $α \equiv \frac{π}{6} (mod 2 π)$ . Le cosinus seul ne suffit pas : c'est le signe du sinus qui exclut $- \frac{π}{6}$ .

Q8. (a) Soit $N$ d'affixe $Z$ et $z = e^{i π /6} Z$ . Alors $∣ z ∣ = ∣ Z ∣$ et $z = e^{- i π /6} Z$ , d'où

$z + z e^{i π /3} - 3 e^{i π /6} = e^{i π /6} Z + e^{- i π /6} e^{i π /3} Z - 3 e^{i π /6} = e^{i π /6} (Z + Z - 3),$

puisque $e^{- i π /6} e^{i π /3} = e^{i π /6}$ . Comme $∣ e^{i π /6} ∣ = 1$ , on obtient la chaîne d'équivalences

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