Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques B PT — Exercice 2 — Partie D (Q10 à Q13) : Un cône circulaire oblique contenant l'hyperbole : points réguliers, plan tangent, sections circulaires, surface de révolution

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques B PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

L'espace $R^{3}$ est euclidien, rapporté à un repère orthonormé direct $(O; e_{1}, e_{2}, e_{3})$ . On note $C^{''}$ la courbe d'équations $3 x^{2} - y^{2} = 3$ , $z = 1$ , et $S$ la surface d'équation $- 3 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} = 0$ .

Q10. Montrer que $C^{''} \subset S$ .
Q11. (a) Déterminer les points réguliers de $S$ . (b) Équation du plan tangent à $S$ en $J (2, - 3, - 1)$ .
Q12. Pour $λ \in R$ , soit $P_{λ}$ le plan $2 x + 2 z = λ$ et $C_{λ} = S \cap P_{λ}$ . (a) Montrer que $C_{λ}$ est vide ou un cercle (on pourra utiliser $- 3 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - (2 x - 2 z) (2 x + 2 z)$ ). (b) Peut-on en déduire que $S$ est une surface de révolution ?
Q13. Soit $C_{+}^{''}$ l'ensemble des points de $C^{''}$ d'abscisse positive. Donner une équation cartésienne de la surface de révolution $Σ$ obtenue en faisant tourner $C_{+}^{''}$ autour de $(O x)$ .

Corrigé

Q10. Soit $M (x, y, z)$ un point quelconque de $C^{''}$ : $3 x^{2} - y^{2} = 3$ et $z = 1$ . Alors

$- 3 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2} = - (3 x^{2} - y^{2}) + 3 \cdot 1^{2} = - 3 + 3 = 0,$

donc $M \in S$ . Tout point de $C^{''}$ appartient à $S$ : $C^{''} \subset S$ . (L'inclusion réciproque est fausse : $O \in S$ mais $O \in / C^{''}$ .)

Q11. (a) Posons $F (x, y, z) = - 3 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2}$ , fonction polynomiale donc de classe $C^{1}$ sur $R^{3}$ , et $S = {F = 0}$ . Un point $M$ de $S$ est régulier si $\nabla F (M) \neq = 0$ . Or

$\nabla F (x, y, z) = (- 6 x, 2 y, 6 z), \nabla F (x, y, z) = 0 ⟺ x = y = z = 0.$

Le seul point où le gradient s'annule est $O$ , et $O \in S$ ( $F (O) = 0$ ). Donc les points réguliers de $S$ sont tous les points de $S$ sauf $O$ : c'est $S ∖ {O}$ (et non $R^{3} ∖ {O}$ ), $O$ étant l'unique point singulier — le sommet du cône $S$ (l'équation est homogène).

Ce que le correcteur attend : $\nabla F \neq = 0$ signifie « l'une au moins des coordonnées est non nulle », pas « toutes sont non nulles ».

(b) $J (2, - 3, - 1) \in S$ : $- 12 + 9 + 3 = 0$ . Et $\nabla F (J) = (- 12, - 6, - 6) \neq = 0$ , donc $J$ est régulier et le plan tangent en $J$ est le plan passant par $J$ et de vecteur normal $\nabla F (J)$ :

$- 12 (x - 2) - 6 (y + 3) - 6 (z + 1) = 0$

$⟺ 2 (x - 2) + (y + 3) + (z + 1) = 0 ⟺ 2 x + y + z = 0.$

(Il passe par le sommet $O$ , comme tout plan tangent à un cône : il contient la génératrice $(O J)$ .)

Q12. (a) L'identité. $(2 x - 2 z) (2 x + 2 z) = 4 x^{2} - 2 z^{2}$ , donc $x^{2} + y^{2} + z^{2} - (4 x^{2} - 2 z^{2}) = - 3 x^{2} + y^{2} + 3 z^{2}$ .

Équivalences. Soit $M (x, y, z)$ . Si $M \in P_{λ}$ , alors $2 x + 2 z = λ$ et l'identité donne $F (M) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - λ (2 x - 2 z)$ . Ainsi

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