Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques C PT — Partie II (II.1 à II.8) : Intégrales à paramètre de type Gamma : continuité, dérivation, relation de récurrence, série géométrique

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N^{⋆}$ et $x > 1$ , on pose $G_{n} (x) = \int_{0}^{+ \infty} x^{- n t} t^{n} d t$ .

II.1. Pour $n$ fixé et $x > 1$ , étudier la convergence de l'intégrale $G_{n} (x)$ .
II.2. Soit $a > 1$ , $n$ fixé. Montrer que $x \mapsto G_{n} (x)$ est continue sur $[a, + \infty [$ .
II.3. Soit $a > 1$ , $n$ fixé. Montrer que $G_{n}$ est dérivable sur $[a, + \infty [$ et écrire $G_{n}^{'} (x)$ sous forme d'une intégrale.
II.4. Montrer que $G_{n + 1} (x) = \frac{1}{ln x} (\frac{n}{n + 1})^{n + 1} G_{n} (x)$ (on pourra poser $u = \frac{( n + 1 ) t}{n}$ ).
II.5. Calculer $G_{1} (x)$ .
II.6. Exprimer $G_{n} (x)$ en fonction de $n$ (et de $x$ ), par des produits en cascade et une récurrence explicite.
II.7. Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence de $\sum_{n \geq 1} \frac{n ^{n} G _{n} ( x )}{( n - 1 )!}$ et calculer alors sa somme $S (x)$ .
II.8. Pour $N \geq 2$ , on pose $Π_{N} = e k = 2 \prod 2 N (1 + \frac{( - 1 ) ^{k}}{k})$ . Calculer $lim_{N \to + \infty} G_{n} (Π_{N})$ .

Corrigé

Dans toute la partie, pour $x > 1$ on écrit $x^{- n t} = e^{- n t l n x}$ avec $ln x > 0$ : l'intégrande est une exponentielle décroissante multipliée par un polynôme.

II.1. Soient $n \in N^{⋆}$ et $x > 1$ . La fonction $θ : t \mapsto t^{n} e^{- n t l n x}$ est continue et positive sur $[0, + \infty [$ : le seul problème est en $+ \infty$ . Par croissances comparées (puisque $n ln x > 0$ ),

$t^{2} θ (t) = t^{n + 2} e^{- (n l n x) t} t \to + \infty 0, donc θ (t) = o_{t \to + \infty} (\frac{1}{t ^{2}}) .$

L'intégrale $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ converge (Riemann, $2 > 1$ ) ; par le critère de comparaison pour les fonctions positives, $\int_{1}^{+ \infty} θ$ converge, et $\int_{0}^{1} θ$ est l'intégrale d'une fonction continue sur un segment. Ainsi $G_{n} (x)$ converge pour tout $x > 1$ , et $G_{n} (x) > 0$ (intégrale d'une fonction continue positive non nulle).

Ce que le correcteur attend : la mention des croissances comparées, du signe positif de l'intégrande et de la référence de Riemann ; majorer par $t^{n}$ , non intégrable, ne prouve rien.

II.2. Soit $a > 1$ . Posons $Φ (x, t) = x^{- n t} t^{n}$ sur $A \times I = [a, + \infty [\times [0, + \infty [$ . Appliquons le théorème de continuité des intégrales à paramètre :

pour tout $t \geq 0$ , $x \mapsto e^{- n t l n x} t^{n}$ est continue sur $[a, + \infty [$ ;
pour tout $x \geq a$ , $t \mapsto Φ (x, t)$ est continue sur $[0, + \infty [$ ;
domination : pour $x \geq a$ et $t \geq 0$ , $ln x \geq ln a$ donc $- n t ln x \leq - n t ln a$ et, $exp$ étant croissante,

$∣Φ (x, t) ∣ = t^{n} e^{- n t l n x} \leq t^{n} e^{- n t l n a} = a^{- n t} t^{n} =: φ (t),$

où $φ$ est indépendante de $x$ , continue, positive, et intégrable sur $[0, + \infty [$ d'après la question II.1 appliquée en $x = a > 1$ .

Donc $G_{n}$ est continue sur $[a, + \infty [$ . Comme tout $x > 1$ vérifie $x \geq a$ pour $a = \frac{1 + x}{2} > 1$ , $G_{n}$ est continue sur $] 1, + \infty [$ (on s'en servira en II.8).

II.3. Soit $a > 1$ ; mêmes notations. Appliquons le théorème de dérivation sous le signe intégrale (formule de Leibniz) :

pour tout $x \geq a$ , $t \mapsto Φ (x, t)$ est continue et intégrable sur $[0, + \infty [$ (question II.1) ;
pour $t \geq 0$ fixé, $x \mapsto e^{- n t l n x} t^{n}$ est dérivable et

$\frac{\partial Φ}{\partial x} (x, t) = t^{n} \cdot (- \frac{n t}{x}) e^{- n t l n x} = - n t^{n + 1} x^{- n t - 1},$

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