Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques C PT — Partie III (III.1 à III.5) : Hessienne, points critiques et minimum global de x²+y²-ln|x-y| ; une estimation en O(N)

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $(x, y) \in R^{2}$ avec $x \neq = y$ , on pose $φ (x, y) = x^{2} + y^{2} - ln ∣ x - y ∣$ .

III.1. Exprimer la hessienne de $φ$ en tout $(x, y)$ tel que $x \neq = y$ .
III.2. Montrer que $φ$ admet un point critique en $(x_{0}, y_{0})$ si et seulement si $x_{0} = - y_{0} = \frac{1}{2 ( x _{0} - y _{0} )}$ .
III.3. Quelles sont les valeurs possibles de $x_{0}$ et $y_{0}$ ?
III.4. Montrer qu'en chacun de ces points $φ$ admet un minimum local.
III.5. En déduire que $\sum_{n = 2}^{N} ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}) = O (N)$ pour $N \geq 2$ , puis que la minoration de $φ$ obtenue en III.4 ne suffit pas pour étudier la convergence de la série de terme général $ln (1 + \frac{( - 1 ) ^{n}}{n})$ .

Corrigé

III.1. Le domaine $U = {(x, y) \in R^{2} : x \neq = y}$ est un ouvert : c'est l'image réciproque de l'ouvert $R^{⋆}$ par l'application continue $(x, y) \mapsto x - y$ . Sur $U$ , $φ$ est de classe $C^{2}$ (et même $C^{\infty}$ ) : $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}$ est polynomiale, et $ln ∣ \cdot ∣$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R^{⋆}$ , de dérivée $u \mapsto \frac{1}{u}$ . On obtient :

$\frac{\partial φ}{\partial x} (x, y) = 2 x - \frac{1}{x - y}, \frac{\partial φ}{\partial y} (x, y) = 2 y - \frac{- 1}{x - y} = 2 y + \frac{1}{x - y} .$

En dérivant encore ( $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{x - y} = - \frac{1}{( x - y ) ^{2}}$ et $\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{x - y} = \frac{1}{( x - y ) ^{2}}$ ) :

$\frac{\partial ^{2} φ}{\partial x ^{2}} = 2 + \frac{1}{( x - y ) ^{2}}, \frac{\partial ^{2} φ}{\partial y ^{2}} = 2 + \frac{1}{( x - y ) ^{2}}, \frac{\partial ^{2} φ}{\partial y \partial x} = \frac{\partial ^{2} φ}{\partial x \partial y} = - \frac{1}{( x - y ) ^{2}},$

l'égalité des dérivées croisées résultant du théorème de Schwarz (et se vérifie directement). Ainsi

$H_{φ} (x, y) = 2 + \frac{1}{( x - y ) ^{2}} - \frac{1}{( x - y ) ^{2}} - \frac{1}{( x - y ) ^{2}} 2 + \frac{1}{( x - y ) ^{2}},$

une seule expression, valable que $x < y$ ou $x > y$ (la valeur absolue disparaît à la dérivation).

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