Corrigé Banque PT 2026 Mathématiques C PT — Préambule (P.1 à P.9) : Fonction homographique t/(t0-t) : dérivées, tangente, primitives ; Taylor-Young et DL de 1/(1-t), ln(1-t)

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Mathématiques C PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Dans tout le préambule, $t_{0}$ est un réel strictement positif, et pour $t \neq = t_{0}$ on pose $f (t) = \frac{t}{t _{0} - t}$ et $g (t) = \frac{t _{0}}{t _{0} - t}$ .

P.1. Donner le domaine de dérivabilité de $f$ et $g$ , expliciter $f^{'}$ et $g^{'}$ et montrer qu'elles coïncident.
P.2. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $] - \infty, t_{0} [$ et sur $] t_{0}, + \infty [$ , limites aux bornes comprises.
P.3. Donner une équation de la tangente $T$ au graphe de $f$ en $0$ .
P.4. Pour $t_{0} = 1$ , tracer $T$ et l'allure du graphe de $f$ (une unité pour un centimètre).
P.5. Pour $n \in N^{⋆}$ , montrer que $f$ est $n$ fois dérivable sur chacun des deux intervalles et donner $f^{(n)}$ , par récurrence.
P.6. Déterminer une primitive $G$ de $g$ , puis une primitive $F$ de $f$ , sur chacun des deux intervalles.
P.7. Pour $n \in N^{⋆}$ , $I$ un intervalle et $x_{0} \in I$ , énoncer la formule de Taylor-Young à l'ordre $n$ en $x_{0}$ pour une fonction $ψ$ définie sur $I$ , hypothèses de régularité comprises.
P.8. Pour $n \in N^{⋆}$ , donner en détail le développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de $t \mapsto \frac{1}{1 - t}$ , après avoir rappelé son domaine de définition.
P.9. En déduire celui de $t \mapsto ln (1 - t)$ , domaine de définition compris.

Corrigé

P.1. Les fonctions $f$ et $g$ sont des fonctions rationnelles : quotients de fonctions polynomiales dont le dénominateur $t \mapsto t_{0} - t$ ne s'annule qu'en $t_{0}$ . Elles sont donc dérivables (et même de classe $C^{\infty}$ ) sur

$R ∖ {t_{0}} =] - \infty, t_{0} [\cup] t_{0}, + \infty [,$

et en $t_{0}$ elles ne sont même pas définies. Pour $t \neq = t_{0}$ , la formule de dérivation d'un quotient donne

$f^{'} (t) = \frac{1 \cdot ( t _{0} - t ) - t \cdot ( - 1 )}{( t _{0} - t ) ^{2}} = \frac{t _{0}}{( t _{0} - t ) ^{2}}, g^{'} (t) = t_{0} \cdot \frac{- ( - 1 )}{( t _{0} - t ) ^{2}} = \frac{t _{0}}{( t _{0} - t ) ^{2}} .$

Ainsi $f^{'} (t) = g^{'} (t) = \frac{t _{0}}{( t _{0} - t ) ^{2}}$ pour tout $t \neq = t_{0}$ : les dérivées coïncident. On l'explique sans calcul :

$f (t) = \frac{( t - t _{0} ) + t _{0}}{t _{0} - t} = - 1 + \frac{t _{0}}{t _{0} - t} = g (t) - 1,$

les deux fonctions diffèrent d'une constante. Cette identité resservira en P.6.

P.2. D'après P.1, $f^{'} (t) = \frac{t _{0}}{( t _{0} - t ) ^{2}} > 0$ pour tout $t \neq = t_{0}$ (car $t_{0} > 0$ ) : $f$ est strictement croissante sur chacun des deux intervalles (pas sur leur réunion, qui n'est pas un intervalle). Limites, avec $f (t) = - 1 + \frac{t _{0}}{t _{0} - t}$ :

en $\pm \infty$ , $\frac{t _{0}}{t _{0} - t} \to 0$ , donc $f (t) \to - 1$ ;
quand $t \to t_{0}^{-}$ , $t_{0} - t \to 0^{+}$ et $t \to t_{0} > 0$ , donc $f (t) \to + \infty$ ;
quand $t \to t_{0}^{+}$ , $t_{0} - t \to 0^{-}$ , donc $f (t) \to - \infty$ .

$t f^{'} (t) f (t) - \infty - 1 + ↗ t_{0}^{-} + \infty t_{0}^{+} - \infty + ↗ + \infty - 1$

Plus précisément $f (t) + 1 = \frac{t _{0}}{t _{0} - t}$ est $> 0$ à gauche de $t_{0}$ et $< 0$ à droite : le graphe est au-dessus de l'asymptote horizontale $y = - 1$ sur $] - \infty, t_{0} [$ et au-dessous sur $] t_{0}, + \infty [$ . La droite $t = t_{0}$ est asymptote verticale.

P.3. L'équation de la tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $0$ est $y = f (0) + f^{'} (0) (t - 0)$ . Ici $f (0) = 0$ et $f^{'} (0) = \frac{t _{0}}{t _{0}^{2}} = \frac{1}{t _{0}}$ , donc

$T : y = \frac{t}{t _{0}} .$

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