Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles A PT — Partie A (Q1 à Q6) : Couple de déviation radio-ulnaire lors d'une découpe

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Un exosquelette de poignet, actionné par des paires de muscles pneumatiques antagonistes, doit assister un opérateur de découpe de viande. On modélise le bras par trois solides : l'avant-bras 0 (repère $R_{0} = (O, x_{0}, y_{0}, z_{0})$ , galiléen), le poignet 1 (masse négligeable) en pivot d'axe $(O, z_{0})$ avec 0, d'angle de flexion-extension $α = (x_{0}, x_{1})$ , et l'ensemble 2 \{main + couteau\} (masse $m_{2}$ ) en pivot d'axe $(O, y_{1})$ avec 1, d'angle de déviation radio-ulnaire $β = (z_{1}, z_{2}) = (x_{1}, x_{2})$ , $y_{1} = y_{2}$ .

Données : $I (O, 2) = diag (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ dans $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ; $O G_{2} = L_{1} x_{2} - L_{2} z_{2}$ ; force de coupe $F_{c} x_{2}$ au point $P$ , $O P = L_{3} x_{2} - L_{4} z_{2}$ ; poids $- m_{2} g z_{0}$ en $G_{2}$ ; muscles : couples $C_{0} z_{0}$ (sur 1) et $C_{1} y_{1}$ (sur 2).

Figure 4 — Schéma simplifié de l'ensemble \{avant-bras, poignet, main\} (projection).

Q1. Exprimer $σ (O, 2/0)$ .
Q2. Exprimer $δ (O, 2/0) \cdot y_{2}$ .
Q3. Réduire en $O$ les torseurs $F_{F_{c} \to 2}$ et $F_{g \to 2}$ .
Q4. Écrire une équation donnant le couple musculaire $C_{1}$ .

Cas particulier quasi statique : $α = 0$ , $β = - π /18$ ( $cos β \approx 1$ , $∣ sin β ∣ \approx 0, 17$ ), $L_{1} = 0, 1 m$ , $L_{2} = 0, 05 m$ , $L_{4} = 0, 2 m$ , $m_{2} = 0, 5 kg$ , $F_{c} = 30 N$ .

Q5. Calculer le couple de déviation radio-ulnaire que doit fournir l'opérateur.

La figure 5 donne le couple maximal de déviation que développe un homme en moyenne ; l'INRS recommande de ne pas dépasser $20%$ de cette capacité (exigence Id 1.1).

Figure 5 — Couple maximal de déviation radio-ulnaire (homme, en moyenne).

Q6. En déduire le couple maximal de l'opérateur dans le cas de Q5, puis le couple que doit fournir l'exosquelette pour respecter l'exigence Id 1.1.

Corrigé

Bases.

La rotation d'angle $α$ autour de $z_{0}$ donne $x_{1} = cos α x_{0} + sin α y_{0}$ ; la rotation d'angle $β$ autour de $y_{1}$ donne $x_{2} = cos β x_{1} - sin β z_{1}$ et $z_{2} = sin β x_{1} + cos β z_{1}$ , soit, à l'inverse,

$x_{1} = cos β x_{2} + sin β z_{2}, z_{0} = z_{1} = - sin β x_{2} + cos β z_{2} .$

Le vecteur rotation, projeté dans la base 2 (celle où la matrice d'inertie est connue), vaut

$Ω (2/0) = α ˙ z_{1} + β ˙ y_{1} = - α ˙ sin β x_{2} + β ˙ y_{2} + α ˙ cos β z_{2} .$

Q1. Le point $O$ est fixe dans $R_{0}$ (intersection des deux axes de pivot) et appartient à 2 : $σ (O, 2/0) = I (O, 2) Ω (2/0)$ , d'où

$σ (O, 2/0) = - A_{2} α ˙ sin β x_{2} + B_{2} β ˙ y_{2} + C_{2} α ˙ cos β z_{2}$

Ce que le correcteur attend : un résultat projeté dans la base 2, et non un mélange de bases.

Q2. $O$ étant fixe dans $R_{0}$ , $δ (O, 2/0) = \frac{d σ ( O , 2/0 )}{d t}_{R_{0}}$ . Pour la seule projection sur $y_{2}$ :

$δ (O, 2/0) \cdot y_{2} = \frac{d}{d t} (σ \cdot y_{2}) - σ \cdot \frac{d y _{2}}{d t}_{R_{0}} .$

Or $y_{2} = y_{1}$ et $\frac{d y _{1}}{d t}_{R_{0}} = α ˙ z_{0} \land y_{1} = - α ˙ x_{1}$ , et $σ \cdot x_{1} = σ \cdot (cos β x_{2} + sin β z_{2}) = (C_{2} - A_{2}) α ˙ sin β cos β$ . Donc

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