Corrigé Banque PT 2026 Sciences industrielles A PT — Partie B.3 (Q13 à Q18) : Longueurs des muscles, méthode de Newton et débattement

Sujet officiel du concours Banque PT, session 2026, épreuve Sciences industrielles A PT. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Sujet officiel (PDF, site du concours)

Énoncé

Chaque muscle $i$ relie un point $A_{i}$ du brassard à un point $B_{i}$ du gant ; $λ_{i} = A_{i} B_{i}$ . Avec les repères de la partie A ( $α$ flexion-extension autour de $z_{0}$ , $β$ déviation autour de $y_{1} = y_{2}$ ) : $O O_{b} = - L_{b} x_{0}$ , $O_{b} A_{1} = - R_{v} y_{0}$ , $O_{b} A_{2} = R_{v} z_{0}$ , $O_{b} A_{3} = R_{v} y_{0}$ , $O_{b} A_{4} = - R_{v} z_{0}$ ; $O O_{g} = L_{g} x_{2}$ , $O_{g} B_{1} = - R_{v} y_{2}$ , $O_{g} B_{2} = R_{v} z_{2}$ , $O_{g} B_{3} = R_{v} y_{2}$ , $O_{g} B_{4} = - R_{v} z_{2}$ (figures 9 et 10 du sujet, en perspective).

Flexion-extension seule ( $β = 0$ , figure 11) :

Figure 11 — Points d'ancrage pour un mouvement de flexion-extension ( $B_{1}$ côté $- y_{2}$ , $A_{1}$ côté $- y_{0}$ ).

Q13. Exprimer $λ_{1}$ en flexion-extension.

Cas général (admis) :

$λ_{2}^{2} = 2 R_{v}^{2} + L_{b}^{2} + L_{g}^{2} + 2 R_{v} (L_{g} sin β - R_{v} cos β) + 2 L_{b} (L_{g} cos β + R_{v} sin β) cos α (B.1)$

Q14. Donner simplement $λ_{4} = A_{4} B_{4}$ .
Q15. Proposer une fonction $f$ dont le zéro donne $λ_{2 - m a x} = max_{β} λ_{2} (β)$ à $α = 0$ par la méthode de Newton (si $λ_{2} > 0$ , maximiser $λ_{2}$ revient à maximiser $λ_{2}^{2}$ ).
Q16. Rappeler la récurrence de Newton et écrire newton(f, fp, beta_0, eps=10**-8) (arrêt sur $∣ f (β) ∣$ ).

Avec $R_{v} = 30 mm$ , $L_{g} = 100 mm$ , $L_{b} = 193 mm$ , la figure 12 trace $λ_{2} (β)$ pour $α \in {0^{\circ}, \pm 1 0^{\circ}, \dots, \pm 8 0^{\circ}}$ .

Figure 12 — $λ_{2} (α, β)$ (courbes grises fines : $α = \pm 1 0^{\circ}$ , $\pm 3 0^{\circ}$ , $\pm 5 0^{\circ}$ , $\pm 7 0^{\circ}$ ).

Q17. Justifier que des courbes soient superposées et que le maximum de $λ_{2}$ semble atteint pour $α = 0^{\circ}$ .
Q18. Lire $λ_{2 - m a x}$ ; avec la contraction maximale du muscle DMSP-5 ( $20%$ de la longueur nominale), en déduire la plage de $β$ à $α = 0^{\circ}$ . Exigences Id 1.2.3.1 (débattement minimal d'au moins $4 5^{\circ}$ dans les 4 directions) et Id 1.2.3.2 (débattement maximal ne dépassant pas $6 0^{\circ}$ dans les 4 directions) ?

Corrigé

Q13. Fermeture géométrique : $A_{1} B_{1} = A_{1} O_{b} + O_{b} O + O O_{g} + O_{g} B_{1} = R_{v} y_{0} + L_{b} x_{0} + L_{g} x_{1} - R_{v} y_{1}$ (avec $β = 0$ , $x_{2} = x_{1}$ , $y_{2} = y_{1}$ ). En projetant dans la base 0 ( $x_{1} = cos α x_{0} + sin α y_{0}$ , $y_{1} = - sin α x_{0} + cos α y_{0}$ ) :

$A_{1} B_{1} = (L_{b} + L_{g} cos α + R_{v} sin α) x_{0} + (R_{v} (1 - cos α) + L_{g} sin α) y_{0} .$

En développant le carré de la norme ( $cos^{2} + sin^{2} = 1$ , les termes croisés $\pm 2 L_{g} R_{v} sin α cos α$ se compensent) :

$λ_{1} = L_{b}^{2} + L_{g}^{2} + 2 R_{v}^{2} (1 - cos α) + 2 R_{v} L_{g} sin α + 2 L_{b} (L_{g} cos α + R_{v} sin α)$

Contrôles : pour $α = 0$ , $λ_{1} = L_{b} + L_{g}$ (muscle tendu en ligne droite) ; l'expression a la même structure que (B.1) à $α = 0$ en remplaçant $β$ par $α$ , ce qui est attendu puisque le muscle 1 joue pour la flexion le rôle du muscle 2 pour la déviation.

Q14. Les points 4 se déduisent des points 2 en changeant $R_{v}$ en $- R_{v}$ : $O_{b} A_{4} = - R_{v} z_{0}$ , $O_{g} B_{4} = - R_{v} z_{2}$ . Dans (B.1), ce changement laisse invariants les termes en $R_{v}^{2}$ et change le signe des termes en $R_{v}$ , ce qui revient à changer $β$ en $- β$ (car $sin$ est impaire et $cos$ paire) : le muscle 4 est le symétrique du muscle 2 par rapport au plan $(O, x_{0}, y_{0})$ .

$λ_{4}^{2} = 2 R_{v}^{2} + L_{b}^{2} + L_{g}^{2} - 2 R_{v} (L_{g} sin β + R_{v} cos β) + 2 L_{b} (L_{g} cos β - R_{v} sin β) cos α λ_{4} (α, β) = λ_{2} (α, - β)$

(Le calcul vectoriel direct, vérifié numériquement, redonne cette expression.)

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